Question

三角形 $ABC$ 和 $ABD$ 都是等腰三角形，且 $AB=AC=BD$ ， $\overline{BD}$ 与 $\overline{AC}$ 交于 $E$ 。若 $\overline{BD}\perp\overline{AC}$ ，则 $\angle C+\angle D$ 等于

Triangles $ABC$ and $ABD$ are isosceles with $AB=AC=BD,$ and $\overline{BD}$ intersects $\overline{AC}$ at $E.$ If $\overline{BD}\perp\overline{AC},$ then $\angle C+\angle D$ is

$115^\circ$

$120^\circ$

$130^\circ$

$135^\circ$

不能唯一确定

not uniquely determined

答案：D

知识点：isosceles triangles 导角

难度评级：2030

小提示：

设 $\angle BAC=\alpha$ ，表示 $\angle C$ 时利用等腰三角形 $ABC$

Let $\angle BAC=\alpha$ and express $\angle C$ using isosceles triangle $ABC$

大提示：

利用 $BD\perp AC$ ，求 $B$ 处的顶角，也就是等腰三角形 $ABD$ 的顶角

Use $BD\perp AC$ to find the vertex angle at $B$ of isosceles triangle $ABD$

解答：

设 $\angle BAC=\alpha$ 。由于 $AB=AC$ ， $\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}\text{。}$ 由于 $BD\perp AC$ ， $BA$ 与 $BD$ 的夹角为 $90^\circ-\alpha$ 。在等腰三角形 $ABD$ 中， $AB=BD$ ，所以两个底角为 $\begin{aligned} \angle D &=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}2\\ &=45^\circ+\frac{\alpha}{2} \end{aligned}\text{。}$ 二者之和为 $135^\circ$ ，所以正确答案是 D。

Let $\angle BAC=\alpha.$ Since $AB=AC,$ $\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$ Because $BD\perp AC,$ the angle between $BA$ and $BD$ is $90^\circ-\alpha.$ In isosceles triangle $ABD,$ $AB=BD,$ so its two base angles are $\begin{aligned} \angle D &=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}2\\ &=45^\circ+\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}$ Their sum is $135^\circ,$ so the correct answer is D.

1996 AMC 12 第 21 题

答案：D

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题