Question

若内接于一个圆的等边三角形周长为 $p$ ，则该圆的面积为：

If $p$ is the perimeter of an equilateral triangle inscribed in a circle, the area of the circle is:

$\dfrac{\pi p^2}{3}$

$\dfrac{\pi p^2}{9}$

$\dfrac{\pi p^2}{27}$

$\dfrac{\pi p^2}{81}$

$\dfrac{\pi p^2\sqrt3}{27}$

答案：C

知识点：等边三角形外接圆、外心与外接圆半径圆面积

难度评级：1210

小提示：

三角形边长为 $\frac{p}{3}$

The triangle side length is $\frac{p}{3}$

大提示：

边长为 $s$ 的等边三角形外接圆半径为 $\frac{s}{\sqrt3}$

An equilateral triangle with side $s$ has circumradius $\frac{s}{\sqrt3}$

解答：

边长为 $\frac{p}{3}$ ，所以外接圆半径为 $R=\frac{\frac{p}{3}}{\sqrt3}=\frac{p}{3\sqrt3}\text{。}$ 因此圆的面积为 $\pi R^2=\frac{\pi p^2}{27}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The side length is $\frac{p}{3},$ so the circumradius is $R=\frac{\frac{p}{3}}{\sqrt3}=\frac{p}{3\sqrt3}.$ Therefore the circle’s area is $\pi R^2=\frac{\pi p^2}{27}.$

Thus, the correct answer is C.

1959 AMC 12 第 21 题

答案：C

难度评级：1210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题