Question

使乘积 $2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}$ 大于 $1000$ 的最小正奇数 $n$ 是多少？（在这个乘积中，各指数的分母均为七，分子是从 $1$ 到 $2n+1$ 的连续奇数。）

What is the smallest positive odd integer $n$ such that the product $2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}$ is greater than $1000?$ (In the product the denominators of the exponents are all sevens, and the numerators are the successive odd integers from $1$ to $2n+1.$ )

$7$

$9$

$11$

$17$

$19$

答案：B

知识点：指数前n个奇数之和不等式

难度评级：1870

小提示：

把各幂合并，即把奇数分子相加

Combine the powers by summing the odd numerators

大提示：

奇数和 $1+3+\cdots+(2n+1)$ 等于 $(n+1)^2$ ，将它与 $2^{10}=1024$ 比较

The odd-number sum $1+3+\cdots+(2n+1)$ equals $(n+1)^2;$ compare with $2^{10}=1024$

解答：

这个乘积为 $2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}\text{。}$ 当 $n=7$ 时，指数 $\frac{64}{7}$ 小于 $\frac{19}{2}$ ，所以乘积小于 $2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000$ 。所有更小的正奇数 $n$ 也都不满足。当 $n=9$ 时，指数为 $\frac{100}{7}\gt10$ ，所以乘积大于 $2^{10}=1024$ 。因此第一个符合条件的奇数 $n$ 是 $9$ 。

所以正确答案是 B。

The product is $2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.$ For $n=7,$ the exponent $\frac{64}{7}$ is less than $\frac{19}{2},$ so the product is less than $2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.$ All smaller positive odd $n$ also fail. For $n=9,$ the exponent is $\frac{100}{7}\gt10,$ so the product exceeds $2^{10}=1024.$ Thus the first allowable odd $n$ is $9.$

Therefore, the correct answer is B.

1976 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题