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2024 AMC 12B 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

三个不同直角三角形的最小角度数之和为 90∘90^\circ。这三个三角形的边长都是本原勾股数三元组。其中两个是 33-44-55 和 55-1212-1313。第三个三角形的周长是多少？

The measures of the smallest angles of three different right triangles sum to 90∘.90^\circ. All three triangles have side lengths that are primitive Pythagorean triples. Two of them are 33-44-55 and 55-1212-13.13. What is the perimeter of the third triangle?

4040

126126

154154

176176

208208

答案：C
知识点：三角恒等式勾股数
难度评级：2130
小提示：

前两个最小角的正切分别为 34\tfrac34 和 512\tfrac{5}{12}；第三个满足 α+β+γ=90∘\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ，所以 tan⁡γ=cot⁡(α+β)\tan\gamma = \cot(\alpha + \beta)。

The smallest angles have tangents 34\tfrac34 and 512;\tfrac{5}{12}; the third must satisfy α+β+γ=90∘,\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ, so tan⁡γ=cot⁡(α+β)\tan\gamma = \cot(\alpha + \beta)

大提示：

计算 tan⁡(α+β)=5633\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{56}{33}，所以 tan⁡γ=3356\tan\gamma = \dfrac{33}{56}；找出两条直角边为 3333 和 5656 的本原三元组。

Compute tan⁡(α+β)=5633,\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{56}{33}, so tan⁡γ=3356;\tan\gamma = \dfrac{33}{56}; find the primitive triple with legs 3333 and 5656

解答：

33-44-55 与 55-1212-1313 三角形的最小角 α,β\alpha, \beta 满足 tan⁡α=34\tan\alpha = \tfrac34，tan⁡β=512\tan\beta = \tfrac{5}{12}。tan⁡(α+β)=34+5121−34⋅512=14123348=5633。 \begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33} \end{aligned}\text{。}

第三个最小角 γ\gamma 满足 γ=90∘−(α+β)\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta)，所以 tan⁡γ=3356\tan\gamma = \dfrac{33}{56}。直角边为 3333、5656 的直角三角形斜边为 332+562=4225=65\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65，构成本原三元组，周长为 33+56+65=15433 + 56 + 65 = 154。

所以正确答案是 C。

The smallest angles α,β\alpha, \beta of the 33-44-55 and 55-1212-1313 triangles have tan⁡α=34\tan\alpha = \tfrac34 and tan⁡β=512.\tan\beta = \tfrac{5}{12}. By the tangent addition formula, tan⁡(α+β)=34+5121−34⋅512=14123348=5633. \begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}

The third smallest angle γ\gamma satisfies γ=90∘−(α+β),\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta), so tan⁡γ=3356.\tan\gamma = \dfrac{33}{56}. The right triangle with legs 3333 and 5656 has hypotenuse 332+562=4225=65,\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65, a primitive triple. Its perimeter is 33+56+65=154.33 + 56 + 65 = 154.

Thus, the correct answer is C.

第 20 题#20
完整试卷
第 22 题#22

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