Question

在下图中， $\theta$ 以弧度为单位， $C$ 是圆心， $BCD$ 和 $ACE$ 都是线段，且 $AB$ 在 $A$ 点与圆相切。

在 $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ 的条件下，两个阴影部分面积相等的充要条件是

In the configuration below, $\theta$ is measured in radians, $C$ is the center of the circle, $BCD$ and $ACE$ are line segments, and $AB$ is tangent to the circle at $A.$

A necessary and sufficient condition for the equality of the two shaded areas, given $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},$ is

$\tan\theta=\theta$

$\tan\theta=2\theta$

$\tan\theta=4\theta$

$\tan2\theta=\theta$

$\tan\frac{\theta}{2}=\theta$

答案：B

知识点：sector area tangent 直角三角形 equation

难度评级：2110

小提示：

令圆的半径为 $r=AC$ ，比较扇形与三角形 $ABC$ 的面积

Let the circle’s radius be $r=AC$ and compare a sector with triangle $ABC$

大提示：

两个阴影部分面积相等，意味着整个三角形的面积是该扇形面积的两倍

Equality of the two shaded pieces means the whole triangle has twice the sector’s area

解答：

令圆的半径为 $r=AC$ ，其上方阴影扇形的面积为 $\frac{\theta r^2}{2}$ 。另一个阴影部分是从三角形 $ABC$ 中去掉一个面积相同的扇形。因此，两个阴影部分面积相等的条件可写为： $2\left(\frac{\theta r^2}{2}\right) =\frac12r\cdot AB$ 该式等价于 $\frac{AB}{r}=2\theta$ 。又因为 $AB$ 在 $A$ 点与圆相切，三角形 $ABC$ 在 $A$ 点为直角，并且 $\frac{AB}{r}=\tan\theta$ ，所以所需条件为 $\tan\theta=2\theta$ 。

因此正确答案是 B。

Let $r=AC.$ The upper shaded sector has area $\frac{\theta r^2}{2}.$ The lower shaded region is triangle $ABC$ with an equal sector removed. Thus the two shaded regions are equal exactly when $2\left(\frac{\theta r^2}{2}\right) =\frac12r\cdot AB.$ This is equivalent to $\frac{AB}{r}=2\theta.$ Since $AB$ is tangent at $A,$ triangle $ABC$ is right at $A,$ and $\frac{AB}{r}=\tan\theta.$ Therefore the condition is $\tan\theta=2\theta.$

Thus the correct answer is B.

1986 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题