Question

复数 $z$ 满足 $z+\lvert z\rvert=2+8i$ 。 $\lvert z\rvert^2$ 等于多少？注：若 $z=a+bi$ ，则 $\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}$ 。

The complex number $z$ satisfies $z+\lvert z\rvert=2+8i.$ What is $\lvert z\rvert^2?$ Note: if $z=a+bi,$ then $\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.$

$68$

$100$

$169$

$208$

$289$

答案：E

知识点：complex numbers modulus equations with radicals

难度评级：1850

小提示：

令 $z=a+bi$ ，并比较等式两边的虚部

Write $z=a+bi$ and compare imaginary parts

大提示：

利用实部建立 $a$ 与 $\sqrt{a^2+b^2}$ 的关系

Use the real part to relate $a$ to $\sqrt{a^2+b^2}$

解答：

令 $z=a+bi$ ，可得 $b=8$ ，且 $a+\sqrt{a^2+64}=2$ 。因此 $\sqrt{a^2+64}=2-a$ 。两边平方得 $a=-15$ 。所以 $\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289$ 。

因此，正确答案是 E。

Writing $z=a+bi$ gives $b=8$ and $a+\sqrt{a^2+64}=2.$ Thus $\sqrt{a^2+64}=2-a.$ Squaring yields $a=-15.$ Therefore $\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289.$

Thus the correct answer is E.

1988 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题