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1988 AMC 12 Problema 21

Intenta el Problema 21 del 1988 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1988 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

El número complejo zz satisface z+∣z∣=2+8i.z+\lvert z\rvert=2+8i. ¿Cuál es ∣z∣2\lvert z\rvert^2? Nota: si z=a+bi,z=a+bi, entonces ∣z∣=a2+b2.\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.

The complex number zz satisfies z+∣z∣=2+8i.z+\lvert z\rvert=2+8i. What is ∣z∣2?\lvert z\rvert^2? Note: if z=a+bi,z=a+bi, then ∣z∣=a2+b2.\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.

6868

100100

169169

208208

289289

Respuesta: E
Conceptos:complex numbersmodulusequations with radicals
Nivel de dificultad: 1850
Pista pequeña:

Escribe z=a+biz=a+bi y compara las partes imaginarias

Write z=a+biz=a+bi and compare imaginary parts

Pista grande:

Usa la parte real para relacionar aa con a2+b2\sqrt{a^2+b^2}

Use the real part to relate aa to a2+b2\sqrt{a^2+b^2}

Solución:

Al escribir z=a+biz=a+bi, se obtiene b=8b=8 y a+a2+64=2.a+\sqrt{a^2+64}=2. Por tanto, a2+64=2−a.\sqrt{a^2+64}=2-a. Al elevar al cuadrado se obtiene a=−15.a=-15. En consecuencia, ∣z∣2=a2+b2=225+64=289.\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Writing z=a+biz=a+bi gives b=8b=8 and a+a2+64=2.a+\sqrt{a^2+64}=2. Thus a2+64=2−a.\sqrt{a^2+64}=2-a. Squaring yields a=−15.a=-15. Therefore ∣z∣2=a2+b2=225+64=289.\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289.

Thus the correct answer is E.

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