Question

¿Cuál es el menor entero positivo impar $n$ tal que el producto $2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}$ es mayor que $1000$ ? (En el producto, los denominadores de los exponentes son todos iguales a siete y los numeradores son los enteros impares consecutivos desde $1$ hasta $2n+1.$ )

What is the smallest positive odd integer $n$ such that the product $2^{\frac{1}{7}}2^{\frac{3}{7}}\cdots2^{\frac{2n+1}{7}}$ is greater than $1000?$ (In the product the denominators of the exponents are all sevens, and the numerators are the successive odd integers from $1$ to $2n+1.$ )

$7$

$9$

$11$

$17$

$19$

Respuesta: B

Conceptos:exponente suma de los primeros n números impares desigualdad

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Combina las potencias sumando los numeradores impares

Combine the powers by summing the odd numerators

Pista grande:

La suma de impares $1+3+\cdots+(2n+1)$ es $(n+1)^2;$ compárala con $2^{10}=1024$

The odd-number sum $1+3+\cdots+(2n+1)$ equals $(n+1)^2;$ compare with $2^{10}=1024$

Solución:

El producto es $2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.$ Para $n=7,$ el exponente $\frac{64}{7}$ es menor que $\frac{19}{2},$ así que el producto es menor que $2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.$ Todos los enteros positivos impares $n$ menores también fallan. Para $n=9,$ el exponente es $\frac{100}{7}\gt10,$ así que el producto supera a $2^{10}=1024.$ Por tanto, el primer $n$ impar permitido es $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product is $2^{\frac{1+3+\cdots+(2n+1)}{7}} =2^{\frac{(n+1)^2}{7}}.$ For $n=7,$ the exponent $\frac{64}{7}$ is less than $\frac{19}{2},$ so the product is less than $2^{\frac{19}{2}}=512\sqrt2\lt768\lt1000.$ All smaller positive odd $n$ also fail. For $n=9,$ the exponent is $\frac{100}{7}\gt10,$ so the product exceeds $2^{10}=1024.$ Thus the first allowable odd $n$ is $9.$

Therefore, the correct answer is B.

1976 AMC 12 Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años