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1963 AMC 12 Problema 21

Intenta el Problema 21 del 1963 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1963 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

La expresión x2−y2−z2+2yz+x+y−zx^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z tiene:

The expression x2−y2−z2+2yz+x+y−zx^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z has:

ningún factor lineal con coeficientes enteros y exponentes enteros

no linear factor with integer coefficients and integer exponents

el factor −x+y+z-x+y+z

the factor −x+y+z-x+y+z

el factor x−y−z+1x-y-z+1

the factor x−y−z+1x-y-z+1

el factor x+y−z+1x+y-z+1

the factor x+y−z+1x+y-z+1

el factor x−y+z+1x-y+z+1

the factor x−y+z+1x-y+z+1

Respuesta: E
Conceptos:diferencia de cuadradosfactorizaciónsustitución
Nivel de dificultad: 1520
Pista pequeña:

Agrupa y−zy-z como una sola expresión

Group y−zy-z as a single expression

Pista grande:

Reescribe el polinomio como x2−(y−z)2+x+(y−z)x^2-(y-z)^2+x+(y-z)

Rewrite the polynomial as x2−(y−z)2+x+(y−z)x^2-(y-z)^2+x+(y-z)

Solución:

Sea u=y−z.u=y-z. Los dos grupos se factorizan como x2−u2=(x+u)(x−u),x+u=(x+u)⋅1. \begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered} Por tanto, toda la expresión es (x+u)(x−u+1),(x+u)(x-u+1), y uno de sus factores es x−y+z+1.x-y+z+1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let u=y−z.u=y-z. The two groups factor as x2−u2=(x+u)(x−u),x+u=(x+u)⋅1. \begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered} Thus the whole expression is (x+u)(x−u+1),(x+u)(x-u+1), and one factor is x−y+z+1.x-y+z+1.

Therefore, the correct answer is E.

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