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2017 AMC 12B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2017 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

El año pasado Isabella hizo 77 exámenes de matemáticas y obtuvo 77 puntajes diferentes, cada uno un entero entre 9191 y 100,100, inclusive. Después de cada examen notó que el promedio de sus puntajes era un entero. Su puntaje en el séptimo examen fue 95.95. ¿Cuál fue su puntaje en el sexto examen?

Last year Isabella took 77 math tests and received 77 different scores, each an integer between 9191 and 100,100, inclusive. After each test she noticed that the average of her test scores was an integer. Her score on the seventh test was 95.95. What was her score on the sixth test?

9292

9494

9696

9898

100100

Respuesta: E
Conceptos:divisibilidadmediaacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 2040
Pista pequeña:

La suma SS de los 77 puntajes es un múltiplo de 77 y está entre 658658 y 679679

The sum SS of all 77 scores is a multiple of 77 and lies between 658658 and 679679

Pista grande:

Además S−95S - 95 es un múltiplo de 6;6; entonces los primeros 55 puntajes suman un múltiplo de 5,5, lo que fija el residuo del sexto puntaje

Also S−95S - 95 is a multiple of 6;6; then the first 55 scores sum to a multiple of 5,5, forcing the sixth score’s residue

Solución:

Sea SS la suma de los siete puntajes. Entonces SS es un múltiplo de 77 con 658≤S≤679,658 \le S \le 679, así que S∈{658,665,672,679}.S \in \{658, 665, 672, 679\}. Como el promedio después de seis exámenes es un entero, S−95S - 95 es un múltiplo de 6,6, lo que obliga a S=665.S = 665. Entonces los primeros seis puntajes suman 570,570, un múltiplo de 5;5; el promedio después de cinco exámenes es un entero, así que los primeros cinco puntajes también suman un múltiplo de 5,5, lo que hace que el sexto puntaje sea un múltiplo de 5.5. Como todos los puntajes son distintos y el séptimo es 95,95, el sexto debe ser 100.100.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let SS be the sum of all seven scores. Then SS is a multiple of 77 with 658≤S≤679,658 \le S \le 679, so S∈{658,665,672,679}.S \in \{658, 665, 672, 679\}. Since the average after six tests is an integer, S−95S - 95 is a multiple of 6,6, which forces S=665.S = 665. Then the first six scores sum to 570,570, a multiple of 5;5; the average after five tests is an integer, so the first five scores also sum to a multiple of 5,5, making the sixth score a multiple of 5.5. Since all scores differ and the seventh is 95,95, the sixth must be 100.100.

Thus, the correct answer is E.

Problema 20#20
Examen completo
Problema 22#22

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