Question

El año pasado Isabella hizo $7$ exámenes de matemáticas y obtuvo $7$ puntajes diferentes, cada uno un entero entre $91$ y $100,$ inclusive. Después de cada examen notó que el promedio de sus puntajes era un entero. Su puntaje en el séptimo examen fue $95.$ ¿Cuál fue su puntaje en el sexto examen?

Last year Isabella took $7$ math tests and received $7$ different scores, each an integer between $91$ and $100,$ inclusive. After each test she noticed that the average of her test scores was an integer. Her score on the seventh test was $95.$ What was her score on the sixth test?

$92$

$94$

$96$

$98$

$100$

Solución:

Sea $S$ la suma de los siete puntajes. Entonces $S$ es un múltiplo de $7$ con $658 \le S \le 679,$ así que $S \in \{658, 665, 672, 679\}.$ Como el promedio después de seis exámenes es un entero, $S - 95$ es un múltiplo de $6,$ lo que obliga a $S = 665.$ Entonces los primeros seis puntajes suman $570,$ un múltiplo de $5;$ el promedio después de cinco exámenes es un entero, así que los primeros cinco puntajes también suman un múltiplo de $5,$ lo que hace que el sexto puntaje sea un múltiplo de $5.$ Como todos los puntajes son distintos y el séptimo es $95,$ el sexto debe ser $100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $S$ be the sum of all seven scores. Then $S$ is a multiple of $7$ with $658 \le S \le 679,$ so $S \in \{658, 665, 672, 679\}.$ Since the average after six tests is an integer, $S - 95$ is a multiple of $6,$ which forces $S = 665.$ Then the first six scores sum to $570,$ a multiple of $5;$ the average after five tests is an integer, so the first five scores also sum to a multiple of $5,$ making the sixth score a multiple of $5.$ Since all scores differ and the seventh is $95,$ the sixth must be $100.$

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años