Question

Para todo entero positivo $n$ menor que $2002,$ sea $a_n=\begin{cases} 11, & \text{si } n \text{ es divisible por } 13 \text{ y } 14;\\ 13, & \text{si } n \text{ es divisible por } 14 \text{ y } 11;\\ 14, & \text{si } n \text{ es divisible por } 11 \text{ y } 13;\\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases}$ Calcula $\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.$

For all positive integers $n$ less than $2002,$ let $a_n=\begin{cases} 11, & \text{if } n \text{ is divisible by } 13 \text{ and } 14;\\ 13, & \text{if } n \text{ is divisible by } 14 \text{ and } 11;\\ 14, & \text{if } n \text{ is divisible by } 11 \text{ and } 13;\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$ Calculate $\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.$

$448$

$486$

$1560$

$2001$

$2002$

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad mínimo común múltiplo múltiplo

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Como $11,$ $13,$ $14$ son coprimos dos a dos, «divisible entre dos de ellos» significa divisible entre su producto.

Because $11,$ $13,$ $14$ are pairwise coprime, “divisible by two of them” means divisible by their product

Pista grande:

Cuenta los múltiplos de $182,$ $154,$ $143$ por debajo de $2002$ ; ningún número menor que $2002$ es divisible entre los tres.

Count multiples of $182,$ $154,$ $143$ below $2002$ ; no number under $2002$ is divisible by all three

Solución:

Como $2002=11\cdot13\cdot14$ con $11,$ $13,$ $14$ coprimos dos a dos, $a_n=11$ cuando $n$ es múltiplo de $182,$ $a_n=13$ cuando $n$ es múltiplo de $154,$ y $a_n=14$ cuando $n$ es múltiplo de $143$ (y ningún $n\lt2002$ es divisible entre los tres).

Para $n\le2001$ hay $10$ múltiplos de $182,$ $12$ de $154,$ y $13$ de $143.$ Así que la suma es $\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $2002=11\cdot13\cdot14$ with $11,$ $13,$ $14$ pairwise coprime, $a_n=11$ when $n$ is divisible by $182,$ $a_n=13$ when $n$ is divisible by $154,$ and $a_n=14$ when $n$ is divisible by $143$ (and no $n\lt2002$ is divisible by all three).

For $n\le2001$ there are $10$ multiples of $182,$ $12$ of $154,$ and $13$ of $143.$ So the sum is $\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 12B Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años