Question

Para todos los enteros positivos menores que $2002$ , sea $n$ tal que $a_n=\begin{cases} 11, & 182\mid n;\\ 13, & 154\mid n;\\ 14, & 143\mid n. \end{cases}$ En todos los demás casos define $a_n=0$ . Calcula $\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.$

For all positive integers less than $2002$ , let $n$ satisfy $a_n=\begin{cases} 11, & 182\mid n;\\ 13, & 154\mid n;\\ 14, & 143\mid n. \end{cases}$ In all other cases set $a_n=0$ . Calculate $\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.$

$448$

$486$

$1560$

$2001$

$2002$

Solución:

Como $2002=11\cdot13\cdot14$ con $11,$ $13,$ $14$ coprimos dos a dos, $a_n=11$ cuando $182\mid n,$ $a_n=13$ cuando $154\mid n,$ y $a_n=14$ cuando $143\mid n$ (y ningún $n\lt2002$ es divisible entre los tres).

Para $n\le2001$ hay $10$ múltiplos de $182,$ $12$ de $154,$ y $13$ de $143.$ Así que la suma es $\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $2002=11\cdot13\cdot14$ with $11,$ $13,$ $14$ pairwise coprime, $a_n=11$ when $182\mid n,$ $a_n=13$ when $154\mid n,$ and $a_n=14$ when $143\mid n$ (and no $n\lt2002$ is divisible by all three).

For $n\le2001$ there are $10$ multiples of $182,$ $12$ of $154,$ and $13$ of $143.$ So the sum is $\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años