Question

Si $A$ y $B$ son vértices de un poliedro, define la distancia $d(A,B)$ como el número mínimo de aristas del poliedro que hay que recorrer para conectar $A$ y $B.$ Por ejemplo, si $\overline{AB}$ es una arista del poliedro, entonces $d(A,B)=1,$ pero si $\overline{AC}$ y $\overline{CB}$ son aristas y $\overline{AB}$ no es una arista, entonces $d(A,B)=2.$ Sean $Q,$ $R,$ y $S$ vértices distintos elegidos al azar de un icosaedro regular (poliedro regular formado por $20$ triángulos equiláteros). ¿Cuál es la probabilidad de que $d(Q,R)\gt d(R,S)$ ?

If $A$ and $B$ are vertices of a polyhedron, define the distance $d(A,B)$ to be the minimum number of edges of the polyhedron one must traverse in order to connect $A$ and $B.$ For example, if $\overline{AB}$ is an edge of the polyhedron, then $d(A,B)=1,$ but if $\overline{AC}$ and $\overline{CB}$ are edges and $\overline{AB}$ is not an edge, then $d(A,B)=2.$ Let $Q,$ $R,$ and $S$ be randomly chosen distinct vertices of a regular icosahedron (regular polyhedron made up of $20$ equilateral triangles). What is the probability that $d(Q,R)\gt d(R,S)?$

$\dfrac{7}{22}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: A

Conceptos:teoría de grafos probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Fija $R.$ Los otros $11$ vértices se reparten en $5$ a distancia $1,$ $5$ a distancia $2,$ y $1$ a distancia $3$

Fix $R.$ The other $11$ vertices split into $5$ at distance $1,$ $5$ at distance $2,$ and $1$ at distance $3$

Pista grande:

Por simetría $P(d(Q,R)\gt d(R,S))$ $=\dfrac{1-P(\text{iguales})}{2}$

By symmetry $P(d(Q,R)\gt d(R,S))$ $=\dfrac{1-P(\text{equal})}{2}$

Solución:

Fija $R.$ Entre los otros $11$ vértices del icosaedro, $5$ están a distancia $1,$ $5$ están a distancia $2,$ y $1$ (el antípoda) está a distancia $3.$

Al elegir $Q,S,$ distintos y ordenados, la probabilidad de que $d(Q,R)=d(R,S)$ es $\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.$

Por la simetría entre $Q$ y $S,$ $\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Fix $R.$ Among the other $11$ vertices of the icosahedron, $5$ are at distance $1,$ $5$ are at distance $2,$ and $1$ (the antipode) is at distance $3.$

Choosing ordered distinct $Q,S,$ the probability that $d(Q,R)=d(R,S)$ is $\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.$

By the symmetry between $Q$ and $S,$ $\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12A Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años