Question

¿Cuántos polinomios cuadráticos con coeficientes reales existen tales que el conjunto de raíces sea igual al conjunto de coeficientes? (Para aclarar: si el polinomio es $ax^2+bx+c,$ $a\neq0,$ y las raíces son $r$ y $s,$ entonces el requisito es que $\{a,b,c\}=\{r,s\}.$ )

How many quadratic polynomials with real coefficients are there such that the set of roots equals the set of coefficients? (For clarification: If the polynomial is $ax^2+bx+c,$ $a\neq0,$ and the roots are $r$ and $s,$ then the requirement is that $\{a,b,c\}=\{r,s\}.$ )

$3$

$4$

$5$

$6$

infinitos

infinitely many

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta análisis por casos sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Como $\{a,b,c\}$ tiene a lo sumo dos valores, al menos dos coeficientes son iguales

Since $\{a,b,c\}$ has at most two values, at least two coefficients are equal

Pista grande:

Por Vieta, $r+s=-\dfrac{b}{a}$ y $rs=\dfrac{c}{a};$ analiza cada caso de coeficientes iguales

By Vieta, $r+s=-\dfrac{b}{a}$ and $rs=\dfrac{c}{a};$ work through each equal-coefficient case

Solución:

Si los tres coeficientes tuvieran un mismo valor $u,$ el polinomio sería $u(x^2+x+1),$ cuyas raíces no son iguales a $u.$ Por tanto, los conjuntos de coeficientes y raíces tienen ambos dos valores distintos, así que exactamente dos coeficientes coinciden. Por las fórmulas de Vieta, $r+s=-\dfrac{b}{a}$ y $rs=\dfrac{c}{a}.$

Primero supongamos que $a=b=u$ y $c=v.$ Las raíces son $u,v,$ así que Vieta da $u+v=-1$ y $uv=\frac{v}{u}.$ Entonces $v(u^2-1)=0,$ lo que produce $x^2+x-2$ y $-x^2-x.$

Si $b=c=v$ y $a=u,$ la misma ecuación del producto da $v(u^2-1)=0,$ mientras que la ecuación de la suma deja solo $u=1,\ v=-\tfrac12.$ Esto da $x^2-\tfrac12x-\tfrac12.$

Finalmente, si $a=c=u$ y $b=v,$ la ecuación del producto da $uv=1,$ así que $v=\frac{1}{u}.$ La ecuación de la suma se convierte en $u^3+u+1=0.$ Esta cúbica estrictamente creciente tiene una raíz real $u,$ y produce exactamente otro polinomio, $ux^2+\dfrac1u x+u.$ Por tanto, hay $4$ polinomios.

Así, B es la respuesta correcta.

If all three coefficients had one value $u,$ the polynomial would be $u(x^2+x+1),$ whose roots do not equal $u.$ Thus the coefficient and root sets both have two distinct values, so exactly two coefficients coincide. By Vieta’s formulas, $r+s=-\dfrac{b}{a}$ and $rs=\dfrac{c}{a}.$

First suppose $a=b=u$ and $c=v.$ The roots are $u,v,$ so Vieta gives $u+v=-1$ and $uv=\frac{v}{u}.$ Hence $v(u^2-1)=0,$ producing $x^2+x-2$ and $-x^2-x.$

If $b=c=v$ and $a=u,$ the same product equation gives $v(u^2-1)=0,$ while the sum equation leaves only $u=1,\ v=-\tfrac12.$ This gives $x^2-\tfrac12x-\tfrac12.$

Finally, if $a=c=u$ and $b=v,$ the product equation gives $uv=1,$ so $v=\frac{1}{u}.$ The sum equation becomes $u^3+u+1=0.$ This strictly increasing cubic has one real root $u,$ producing exactly one more polynomial, $ux^2+\dfrac1u x+u.$ Therefore there are $4$ polynomials.

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años