Question

¿Cuántos polinomios cuadráticos con coeficientes reales existen tales que el conjunto de raíces sea igual al conjunto de coeficientes? (Para aclarar: si el polinomio es $ax^2+bx+c,\ a\neq0,$ y las raíces son $r$ y $s,$ entonces el requisito es que $\{a,b,c\}=\{r,s\}.$ )

How many quadratic polynomials with real coefficients are there such that the set of roots equals the set of coefficients? (For clarification: If the polynomial is $ax^2+bx+c,\ a\neq0,$ and the roots are $r$ and $s,$ then the requirement is that $\{a,b,c\}=\{r,s\}.$ )

$3$

$4$

$5$

$6$

infinitos

infinitely many

Solución:

El conjunto $\{a,b,c\}$ debe ser igual al conjunto de dos elementos $\{r,s\},$ así que al menos dos coeficientes coinciden, y las raíces son los dos valores distintos de los coeficientes. Por las fórmulas de Vieta $r+s=-\dfrac{b}{a}$ y $rs=\dfrac{c}{a}.$

Analizar los casos de cuáles coeficientes son iguales produce los polinomios $x^2+x-2,$ $-x^2-x,$ $x^2-\dfrac12 x-\dfrac12,$ y $ux^2+\dfrac1u x+u$ donde $u$ es la única raíz real de $u^3+u+1=0.$

En total son $4$ polinomios.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The set $\{a,b,c\}$ must equal the two-element set $\{r,s\},$ so at least two coefficients coincide, and the roots are the two distinct coefficient values. By Vieta's formulas $r+s=-\dfrac{b}{a}$ and $rs=\dfrac{c}{a}.$

Working through the cases of which coefficients are equal yields the polynomials $x^2+x-2,$ $-x^2-x,$ $x^2-\dfrac12 x-\dfrac12,$ and $ux^2+\dfrac1u x+u$ where $u$ is the unique real root of $u^3+u+1=0.$

That is $4$ polynomials in all.

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años