Question

Sea $z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.$ ¿Cuánto vale

$\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}$

Let $z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.$ What is

$\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}$

$18$

$72 - 36\sqrt{2}$

$36$

$72$

$72 + 36\sqrt{2}$

Respuesta: C

Conceptos:raíces de la unidad número complejo aritmética modular

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

$z = e^{\frac{i\pi}{4}},$ así que $z^{k^2}$ depende solo de $k^2 \bmod 8$ .

$z = e^{\frac{i\pi}{4}},$ so $z^{k^2}$ depends only on $k^2 \bmod 8$

Pista grande:

Para $k = 1, \ldots, 12,$ el exponente $k^2 \bmod 8$ es $1$ seis veces, $4$ tres veces, y $0$ tres veces

Over $k = 1, \ldots, 12,$ the exponent $k^2 \bmod 8$ is $1$ six times, $4$ three times, and $0$ three times

Solución:

Como $z = e^{\frac{i\pi}{4}},$ tenemos $z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},$ que depende solo de $k^2 \bmod 8.$

Para $k = 1$ hasta $12,$ el residuo $k^2 \bmod 8$ es $1$ (dando $z$ ) seis veces, $4$ (dando $-1$ ) tres veces, y $0$ (dando $1$ ) tres veces. Así que la primera suma es $6z - 3 + 3 = 6z.$

La segunda suma es análogamente $\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.$ Su producto es $6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $z = e^{\frac{i\pi}{4}},$ we have $z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},$ depending only on $k^2 \bmod 8.$

For $k = 1$ to $12,$ the residue $k^2 \bmod 8$ is $1$ (giving $z$ ) six times, $4$ (giving $-1$ ) three times, and $0$ (giving $1$ ) three times. So the first sum is $6z - 3 + 3 = 6z.$

The second sum is likewise $\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.$ Their product is $6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.$

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 12A Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años