Question

Se eligen números reales entre $0$ y $1,$ inclusive, de la siguiente manera. Se lanza una moneda justa. Si sale cara, se lanza de nuevo y el número elegido es $0$ si el segundo lanzamiento es cara y $1$ si el segundo lanzamiento es cruz. Por otro lado, si el primer lanzamiento es cruz, entonces el número se elige uniformemente al azar del intervalo cerrado $[0, 1].$ Dos números aleatorios $x$ y $y$ se eligen independientemente de esta manera. ¿Cuál es la probabilidad de que $|x - y| \gt \dfrac{1}{2}$ ?

Real numbers between $0$ and $1,$ inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is $0$ if the second flip is heads and $1$ if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval $[0, 1].$ Two random numbers $x$ and $y$ are chosen independently in this manner. What is the probability that $|x - y| \gt \dfrac{1}{2}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución:

Cada variable es igual a $0$ con probabilidad $\tfrac14,$ es igual a $1$ con probabilidad $\tfrac14,$ y es uniforme en $[0, 1]$ con probabilidad $\tfrac12.$

Considerando las nueve combinaciones de tipos: los pares $(0, 1)$ y $(1, 0)$ contribuyen cada uno $\tfrac{1}{16}.$ Cada uno de los cuatro casos de punto contra uniforme contribuye $\tfrac{1}{16}.$ El caso de uniforme contra uniforme contribuye $\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.$

El total es $\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each variable equals $0$ with probability $\tfrac14,$ equals $1$ with probability $\tfrac14,$ and is uniform on $[0, 1]$ with probability $\tfrac12.$

Considering the nine combinations of types: the pairs $(0, 1)$ and $(1, 0)$ each contribute $\tfrac{1}{16}.$ Each of the four point-versus-uniform cases contributes $\tfrac{1}{16}.$ The uniform-versus-uniform case contributes $\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}.$

The total is $\dfrac{2 + 4 + 1}{16} = \dfrac{7}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

2019 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años