Question

Sea $f(x) = ax^2 + bx + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros. Supongamos que $f(1) = 0,$ $50 \lt f(7) \lt 60,$ $70 \lt f(8) \lt 80,$ y $5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)$ para algún entero $k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

Let $f(x) = ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers. Suppose that $f(1) = 0,$ $50 \lt f(7) \lt 60,$ $70 \lt f(8) \lt 80,$ and $5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)$ for some integer $k.$ What is $k?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrática sistema de ecuaciones acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

De $f(1) = 0,$ $c = -a - b,$ así que $f(7) = 6(8a + b)$ y $f(8) = 7(9a + b)$

From $f(1) = 0,$ $c = -a - b,$ so $f(7) = 6(8a + b)$ and $f(8) = 7(9a + b)$

Pista grande:

Las cotas obligan a $8a + b = 9$ y $9a + b = 11$

The bounds force $8a + b = 9$ and $9a + b = 11$

Solución:

Como $f(1) = a + b + c = 0,$ tenemos $c = -a - b.$ Entonces $f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),$ $f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).$

De $50 \lt 6(8a + b) \lt 60$ obtenemos $8a + b = 9,$ y de $70 \lt 7(9a + b) \lt 80$ obtenemos $9a + b = 11.$ Restando, $a = 2,$ luego $b = -7$ y $c = 5.$

Así que $f(100) = 20000 - 700 + 5$ $= 19305,$ que está en $5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,$ lo que da $k = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $f(1) = a + b + c = 0,$ we have $c = -a - b.$ Then $f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),$ $f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).$

From $50 \lt 6(8a + b) \lt 60$ we get $8a + b = 9,$ and from $70 \lt 7(9a + b) \lt 80$ we get $9a + b = 11.$ Subtracting, $a = 2,$ then $b = -7$ and $c = 5.$

So $f(100) = 20000 - 700 + 5$ $= 19305,$ which lies in $5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,$ giving $k = 3.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años