Question

Evalúa $\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}$

Evaluate $\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}$

$0$

$\frac12\log_{10}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$

$\frac12\log_{10}2$

$1$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:logarithm product rule complementary angles tangent

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Empareja el término del ángulo $k^\circ$ con el del ángulo $(90-k)^\circ$

Pair the term at angle $k^\circ$ with the term at angle $(90-k)^\circ$

Pista grande:

Usa $\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$ antes de combinar los logaritmos

Use $\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$ before combining logarithms

Solución:

Para cada $k=1,\ldots,44,$ $\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1.$ Así, cada suma emparejada de logaritmos es $\log_{10}1=0.$ El término central restante es $\log_{10}(\tan45^\circ)=0.$ Por tanto, la suma completa es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each $k=1,\ldots,44,$ $\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1.$ Thus each paired sum of logarithms is $\log_{10}1=0.$ The remaining middle term is $\log_{10}(\tan45^\circ)=0.$ Hence the whole sum is $0.$

Thus the correct answer is A.

1987 AMC 12 Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años