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2010 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2010 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Una sucesión geométrica (an)(a_n) tiene a1=sin⁡x,a_1=\sin x, a2=cos⁡x,a_2=\cos x, y a3=tan⁡xa_3=\tan x para algún número real x.x. ¿Para qué valor de nn se cumple an=1+cos⁡xa_n=1+\cos x?
A geometric sequence (an)(a_n) has a1=sin⁡x,a_1=\sin x, a2=cos⁡x,a_2=\cos x, and a3=tan⁡xa_3=\tan x for some real number x.x. For what value of nn does an=1+cos⁡x?a_n=1+\cos x?
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Respuesta: E
Conceptos:sucesión geométricaidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2240
Pista pequeña:
La razón común es r=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x;r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x; calcula a4=a3⋅ra_4=a_3\cdot r
The common ratio is r=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x;r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x; compute a4=a3⋅ra_4=a_3\cdot r
Pista grande:
Muestra que a4=1a_4=1 y 1+cos⁡x=r4,1+\cos x=r^4, luego escribe 1+cos⁡x1+\cos x como a4⋅r4a_4\cdot r^4
Show a4=1a_4=1 and 1+cos⁡x=r4,1+\cos x=r^4, then write 1+cos⁡x1+\cos x as a4⋅r4a_4\cdot r^4
Solución:
La razón común es r=a2a1=cot⁡x.r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x. Entonces a4=a3⋅r=tan⁡xcot⁡x=1.a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.
De a3=a1r2,a_3=a_1r^2, obtenemos tan⁡x=sin⁡xcot⁡2x=cos⁡2xsin⁡x,\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x}, así que sin⁡2x=cos⁡3x,\sin^2 x=\cos^3 x, es decir (cos⁡2x)(1+cos⁡x)=1.(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.
Por lo tanto 1+cos⁡x=1cos⁡2x.1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}. También r2=cos⁡2xsin⁡2x=cos⁡2xcos⁡3x=1cos⁡x,r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x}, así que r4=1cos⁡2x=1+cos⁡x.r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.
Por lo tanto 1+cos⁡x=a4⋅r4=a8,1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8, así que n=8.n=8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The common ratio is r=a2a1=cot⁡x.r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x. Then a4=a3⋅r=tan⁡xcot⁡x=1.a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.
From a3=a1r2,a_3=a_1r^2, we get tan⁡x=sin⁡xcot⁡2x=cos⁡2xsin⁡x,\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x}, so sin⁡2x=cos⁡3x,\sin^2 x=\cos^3 x, i.e. (cos⁡2x)(1+cos⁡x)=1.(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.
Hence 1+cos⁡x=1cos⁡2x.1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}. Also r2=cos⁡2xsin⁡2x=cos⁡2xcos⁡3x=1cos⁡x,r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x}, so r4=1cos⁡2x=1+cos⁡x.r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.
Therefore 1+cos⁡x=a4⋅r4=a8,1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8, so n=8.n=8.
Thus, the correct answer is E.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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