Question

Una sucesión geométrica $(a_n)$ tiene $a_1=\sin x,$ $a_2=\cos x,$ y $a_3=\tan x$ para algún número real $x.$ ¿Para qué valor de $n$ se cumple $a_n=1+\cos x$ ?

A geometric sequence $(a_n)$ has $a_1=\sin x,$ $a_2=\cos x,$ and $a_3=\tan x$ for some real number $x.$ For what value of $n$ does $a_n=1+\cos x?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución:

La razón común es $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.$ Entonces $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.$

De $a_3=a_1r^2,$ obtenemos $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$ así que $\sin^2 x=\cos^3 x,$ es decir $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.$

Por lo tanto $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$ También $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},$ así que $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.$

Por lo tanto $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,$ así que $n=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The common ratio is $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.$ Then $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.$

From $a_3=a_1r^2,$ we get $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$ so $\sin^2 x=\cos^3 x,$ i.e. $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.$

Hence $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$ Also $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},$ so $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.$

Therefore $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,$ so $n=8.$

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años