Question

Un poliedro convexo $Q$ tiene vértices $V_1, V_2, \ldots, V_n,$ y $100$ aristas. El poliedro se corta mediante planos $P_1, P_2, \ldots, P_n$ de modo que el plano $P_k$ corta únicamente las aristas que concurren en el vértice $V_k.$ Además, ningún par de planos se corta dentro o sobre $Q.$ Los cortes producen $n$ pirámides y un nuevo poliedro $R.$ ¿Cuántas aristas tiene $R$ ?

A convex polyhedron $Q$ has vertices $V_1, V_2, \ldots, V_n,$ and $100$ edges. The polyhedron is cut by planes $P_1, P_2, \ldots, P_n$ in such a way that plane $P_k$ cuts only those edges that meet at vertex $V_k.$ In addition, no two planes intersect inside or on $Q.$ The cuts produce $n$ pyramids and a new polyhedron $R.$ How many edges does $R$ have?

$200$

$2n$

$300$

$400$

$4n$

Solución:

Cada una de las $100$ aristas se corta una vez cerca de cada extremo, así que $R$ tiene $2 \cdot 100 = 200$ vértices.

El corte en el vértice $V_k$ crea un pequeño polígono cuyo número de aristas es igual al grado de $V_k$ ; sumado sobre todos los vértices esto da $200,$ el número total de extremos de aristas. La porción central de cada arista original también sobrevive, y añade $100$ aristas. Así que $R$ tiene $200 + 100 = 300$ aristas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each of the $100$ edges is cut once near each endpoint, so $R$ has $2 \cdot 100 = 200$ vertices.

The cut at vertex $V_k$ creates a small polygon whose number of edges equals the degree of $V_k$ ; summed over all vertices this is $200,$ the total number of edge-endpoints. The middle portion of each original edge also survives, adding $100$ edges. So $R$ has $200 + 100 = 300$ edges.

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años