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2005 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2005 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Para cada xx en [0,1],[0, 1], define f(x)={2x,0≤x≤12,2−2x,12<x≤1. f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1. \end{cases} Sea f[2](x)=f(f(x)),f^{[2]}(x) = f(f(x)), y f[n+1](x)=f[n](f(x))f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x)) para cada entero n≥2.n \ge 2. ¿Para cuántos valores de xx en [0,1][0, 1] se cumple f[2005](x)=12f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}?

For each xx in [0,1],[0, 1], define f(x)={2x,0≤x≤12,2−2x,12<x≤1. f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1. \end{cases} Let f[2](x)=f(f(x)),f^{[2]}(x) = f(f(x)), and f[n+1](x)=f[n](f(x))f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x)) for each integer n≥2.n \ge 2. For how many values of xx in [0,1][0, 1] is f[2005](x)=12?f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}?

00

20052005

40104010

200522005^2

220052^{2005}

Respuesta: E
Conceptos:funciónrecursión
Nivel de dificultad: 2330
Pista pequeña:

Sea g(n)g(n) el número de soluciones de f[n](x)=12;f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}; halla una recursión para g(n)g(n).

Let g(n)g(n) be the number of solutions of f[n](x)=12;f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}; find a recursion for g(n)g(n)

Pista grande:

Como ff aplica cada uno de [0,12][0, \tfrac12] y [12,1][\tfrac12, 1] sobre todo [0,1],[0, 1], cada solución se divide en dos, lo que da g(n)=2 g(n−1)g(n) = 2\,g(n-1).

Because ff maps each of [0,12][0, \tfrac12] and [12,1][\tfrac12, 1] onto all of [0,1],[0, 1], each solution splits into two, giving g(n)=2 g(n−1)g(n) = 2\,g(n-1)

Solución:

Sea g(n)g(n) el número de soluciones de f[n](x)=12f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2} en [0,1].[0, 1]. Como ff aplica cada una de las dos mitades [0,12][0, \tfrac12] y [12,1][\tfrac12, 1] sobre todo [0,1],[0, 1], cada solución de f[n−1](y)=12f^{[n-1]}(y) = \tfrac12 proviene de dos valores de xx (uno en cada mitad).

El valor de frontera x=12x = \tfrac12 satisface f[n](12)=f[n−1](1)=0≠12,f^{[n]}(\tfrac12) = f^{[n-1]}(1) = 0 \ne \tfrac12, así que no se pierde ninguna solución, lo que da g(n)=2 g(n−1).g(n) = 2\,g(n-1).

Como g(1)=2,g(1) = 2, concluimos que g(2005)=22005.g(2005) = 2^{2005}.

Así, la respuesta correcta es E.

Let g(n)g(n) count the solutions of f[n](x)=12f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2} in [0,1].[0, 1]. Since ff maps each of the two halves [0,12][0, \tfrac12] and [12,1][\tfrac12, 1] onto all of [0,1],[0, 1], every solution of f[n−1](y)=12f^{[n-1]}(y) = \tfrac12 comes from two values of xx (one in each half).

The boundary value x=12x = \tfrac12 satisfies f[n](12)=f[n−1](1)=0≠12,f^{[n]}(\tfrac12) = f^{[n-1]}(1) = 0 \ne \tfrac12, so no solutions are lost, giving g(n)=2 g(n−1).g(n) = 2\,g(n-1).

Since g(1)=2,g(1) = 2, we conclude g(2005)=22005.g(2005) = 2^{2005}.

Thus, the correct answer is E.

Problema 19#19
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