Question

Se inscribe un círculo en un cuadrado de lado $m,$ luego un cuadrado en ese círculo, después un círculo en este último cuadrado, y así sucesivamente. Si $S_n$ es la suma de las áreas de los primeros $n$ círculos así inscritos, entonces, cuando $n$ crece sin límite, $S_n$ se aproxima a:

A circle is inscribed in a square of side $m,$ then a square is inscribed in that circle, then a circle is inscribed in the latter square, and so on. If $S_n$ is the sum of the areas of the first $n$ circles so inscribed, then, as $n$ grows beyond all bounds, $S_n$ approaches:

$\dfrac{\pi m^2}{2}$

$\dfrac{3\pi m^2}{8}$

$\dfrac{\pi m^2}{3}$

$\dfrac{\pi m^2}{4}$

$\dfrac{\pi m^2}{8}$

Respuesta: A

Conceptos:área del círculo sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

El primer círculo tiene área $\frac{\pi m^2}{4}$

The first circle has area $\frac{\pi m^2}{4}$

Pista grande:

Cada círculo sucesivo tiene la mitad del área del círculo anterior

Each successive circle has half the preceding circle’s area

Solución:

El primer círculo tiene área $\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}.$ Cada cuadrado inscrito reduce el cuadrado del radio del círculo siguiente, y por tanto su área, por un factor de $\frac{1}{2}.$ Así, la suma límite es $\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first circle has area $\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}.$ Each inscribed square reduces the next circle’s squared radius, and hence its area, by a factor of $\frac{1}{2}.$ Thus the limiting sum is $\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años