Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $f_1(n)$ el doble del número de divisores enteros positivos de $n,$ y para $j \ge 2,$ sea $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ ¿Para cuántos valores de $n \le 50$ se cumple $f_{50}(n) = 12$ ?

For each positive integer $n,$ let $f_1(n)$ be twice the number of positive integer divisors of $n,$ and for $j \ge 2,$ let $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ For how many values of $n \le 50$ is $f_{50}(n) = 12?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de factores recursión

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

$f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,$ así que $12$ es un punto fijo; $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ es otro

$f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,$ so $12$ is a fixed point; $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ is another

Pista grande:

Después de suficientes pasos, cada $n$ cae en $8$ o $12;$ cuenta aquellos cuya órbita llega a $12$

After enough steps every $n$ lands on $8$ or $12;$ count those whose orbit reaches $12$

Solución:

Tanto $8$ como $12$ son puntos fijos. Para $n\le50,$ el primer valor $f_1(n)=2d(n)$ es a lo sumo $20.$ Al revisar los valores pares hasta $20$ , una órbita llega a $12$ exactamente cuando su primer valor es $12,18,$ o $20.$ Por tanto, necesitamos $d(n)=6,9,$ o $10.$

Los números no mayores que $50$ con $6$ divisores son $12,18,20,28,32,44,45,50;$ el único con $9$ divisores es $36,$ y el único con $10$ divisores es $48.$ Estos $10$ valores llegan todos al punto fijo $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Both $8$ and $12$ are fixed. For $n\le50,$ the first value $f_1(n)=2d(n)$ is at most $20.$ Checking the even values through $20$ shows that an orbit reaches $12$ exactly when its first value is $12,18,$ or $20.$ Thus we need $d(n)=6,9,$ or $10.$

The numbers at most $50$ with $6$ divisors are $12,18,20,28,32,44,45,50;$ the only one with $9$ divisors is $36,$ and the only one with $10$ divisors is $48.$ These $10$ values all reach the fixed point $12.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años