Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $f_1(n)$ el doble del número de divisores enteros positivos de $n,$ y para $j \ge 2,$ sea $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ ¿Para cuántos valores de $n \le 50$ se cumple $f_{50}(n) = 12$ ?

For each positive integer $n,$ let $f_1(n)$ be twice the number of positive integer divisors of $n,$ and for $j \ge 2,$ let $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ For how many values of $n \le 50$ is $f_{50}(n) = 12?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Tanto $8$ como $12$ son fijos: $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ y $f_1(12) = 2\cdot 6 = 12.$ La pequeña cadena $2 \to 4 \to 6 \to 8$ canaliza la mayoría de los números hacia $8;$ para llegar a $12$ la órbita debe pasar por $12,$ $18$ (ya que $f_1(18) = 12$ ), o $20.$

Rastreando cada $n \le 50,$ los que llegan a $12$ son $12, 18, 20, 28, 32, 36, 44, 45, 48, 50$ , por ejemplo $36 \to 18 \to 12$ y $48 \to 20 \to 12.$ Eso da $10$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Both $8$ and $12$ are fixed: $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ and $f_1(12) = 2\cdot 6 = 12.$ The small chain $2 \to 4 \to 6 \to 8$ funnels most numbers to $8;$ to reach $12$ the orbit must hit $12,$ $18$ (since $f_1(18) = 12$ ), or $20.$

Tracing each $n \le 50,$ the ones reaching $12$ are $12, 18, 20, 28, 32, 36, 44, 45, 48, 50$ — for instance $36 \to 18 \to 12$ and $48 \to 20 \to 12.$ That is $10$ values.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años