Question

Los triángulos isósceles $T$ y $T'$ no son congruentes pero tienen la misma área y el mismo perímetro. Los lados de $T$ miden $5,$ $5,$ y $8,$ mientras que los de $T'$ miden $a,$ $a,$ y $b.$ ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a $b$ ?

Isosceles triangles $T$ and $T'$ are not congruent but have the same area and the same perimeter. The sides of $T$ have lengths $5,$ $5,$ and $8,$ while those of $T'$ have lengths $a,$ $a,$ and $b.$ Which of the following numbers is closest to $b?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$8$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles sistema de ecuaciones polinomio

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

$T$ tiene perímetro $18$ y área $12;$ escribe esas mismas dos condiciones para $T'$

$T$ has perimeter $18$ and area $12;$ write those same two conditions for $T'$

Pista grande:

Elimina $a$ usando $2a + b = 18;$ llegas a una cúbica con la raíz extraña $b = 8$ que se puede factorizar

Eliminate $a$ using $2a + b = 18;$ you reach a cubic with the extraneous root $b = 8$ to factor out

Solución:

La altura de $T$ sobre su base de longitud $8$ es $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,$ así que $T$ tiene área $\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12$ y perímetro $18.$

Para $T'$ necesitamos $2a + b = 18$ y área $\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12.$ Sustituyendo $a = \dfrac{18 - b}{2}$ y elevando al cuadrado se llega a $(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.$

Como $T$ y $T'$ no son congruentes, $b \ne 8,$ así que $b^2 - b - 8 = 0$ y $b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}.$ Como $25 \lt 33 \lt 36,$ esto está entre $3$ y $3.5,$ así que el entero más cercano es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The altitude of $T$ to its base of length $8$ is $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,$ so $T$ has area $\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12$ and perimeter $18.$

For $T'$ we need $2a + b = 18$ and area $\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12.$ Substituting $a = \dfrac{18 - b}{2}$ and squaring leads to $(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.$

Since $T$ and $T'$ are not congruent, $b \ne 8,$ so $b^2 - b - 8 = 0$ and $b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}.$ Because $25 \lt 33 \lt 36,$ this is between $3$ and $3.5,$ so the closest integer is $3.$

Thus, the correct answer is A.

2015 AMC 12A Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años