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2021 AMC 12A Spring Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2021 AMC 12A Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Supón que en una parábola con vértice VV y un foco FF existe un punto AA tal que AF=20AF = 20 y AV=21.AV = 21. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de la longitud FVFV?

Suppose that on a parabola with vertex VV and a focus FF there exists a point AA such that AF=20AF = 20 and AV=21.AV = 21. What is the sum of all possible values of the length FV?FV?

1313

403\dfrac{40}{3}

413\dfrac{41}{3}

1414

433\dfrac{43}{3}

Respuesta: B
Conceptos:parábolafórmula de la distanciaFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 2300
Pista pequeña:

Coloca VV en el origen con distancia focal f=FV;f = FV; entonces AFAF es igual a la distancia de AA a la directriz.

Put VV at the origin with focal distance f=FV;f = FV; then AFAF equals the distance from AA to the directrix

Pista grande:

Con A=(x,y),A = (x, y), usa y+f=20y + f = 20 y x2+y2=212,x^2 + y^2 = 21^2, junto con x2=4fy,x^2 = 4fy, para obtener una cuadrática en ff.

With A=(x,y),A = (x, y), use y+f=20y + f = 20 and x2+y2=212,x^2 + y^2 = 21^2, with x2=4fy,x^2 = 4fy, to get a quadratic in ff

Solución:

Sea V=(0,0)V = (0, 0), foco F=(0,f)F = (0, f), y directriz y=−fy = -f, donde f=FVf = FV. Un punto A=(x,y)A = (x, y) en la parábola satisface x2=4fyx^2 = 4fy y AF=y+f=20AF = y + f = 20, así que y=20−fy = 20 - f. Además AV2=x2+y2=4fy+y2AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2 =441= 441.

Sustituyendo y=20−fy = 20 - f: 4f(20−f)+(20−f)2=441  ⟹  3f2−40f+41=0. \begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned} Por las fórmulas de Vieta, la suma de los dos valores posibles de ff es 403\dfrac{40}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let V=(0,0),V = (0, 0), focus F=(0,f),F = (0, f), and directrix y=−f,y = -f, where f=FV.f = FV. A point A=(x,y)A = (x, y) on the parabola satisfies x2=4fyx^2 = 4fy and AF=y+f=20,AF = y + f = 20, so y=20−f.y = 20 - f. Also AV2=x2+y2=4fy+y2AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2 =441.= 441.

Substituting y=20−f:y = 20 - f: 4f(20−f)+(20−f)2=441  ⟹  3f2−40f+41=0. \begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned} By Vieta’s formulas, the sum of the two possible values of ff is 403.\dfrac{40}{3}.

Thus, the correct answer is B.

Problema 19#19
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