Question

Supón que en una parábola con vértice $V$ y un foco $F$ existe un punto $A$ tal que $AF = 20$ y $AV = 21$ . ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de la longitud $FV$ ?

Suppose that on a parabola with vertex $V$ and a focus $F$ there exists a point $A$ such that $AF = 20$ and $AV = 21.$ What is the sum of all possible values of the length $FV?$

$13$

$\dfrac{40}{3}$

$\dfrac{41}{3}$

$14$

$\dfrac{43}{3}$

Solución:

Sea $V = (0, 0)$ , foco $F = (0, f)$ , y directriz $y = -f$ , donde $f = FV$ . Un punto $A = (x, y)$ en la parábola satisface $x^2 = 4fy$ y $AF = y + f = 20$ , así que $y = 20 - f$ . Además $AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2$ $= 441$ .

Sustituyendo $y = 20 - f$ : $\begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned}$ Por las fórmulas de Vieta, la suma de los dos valores posibles de $f$ es $\dfrac{40}{3}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $V = (0, 0),$ focus $F = (0, f),$ and directrix $y = -f,$ where $f = FV.$ A point $A = (x, y)$ on the parabola satisfies $x^2 = 4fy$ and $AF = y + f = 20,$ so $y = 20 - f.$ Also $AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2$ $= 441.$

Substituting $y = 20 - f:$ $\begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned}$ By Vieta's formulas, the sum of the two possible values of $f$ is $\dfrac{40}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Spring Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años