Respuesta: C

Pista pequeña:

Reescribe el lado derecho usando $\cos\theta = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right)$.

Pista grande:

Senos iguales dan $\cos x + \sin x = 1$ o $\cos x - \sin x = 1;$ cada uno tiene rango $[-\sqrt2, \sqrt2]$.

Solución:

Escribe el lado derecho como $\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\sin x\right) = \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}\sin x\right)$. Senos iguales requieren o bien $$\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\cos x \\ &= \frac{\pi}{2}(1 - \sin x) + 2\pi k \end{aligned}$$ o bien $$\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\cos x \\ &= \pi - \frac{\pi}{2}(1 - \sin x) + 2\pi k. \end{aligned}$$

La primera se reduce a $\cos x + \sin x = 1 + 4k$; como $\cos x + \sin x \in [-\sqrt2, \sqrt2]$, solo $k = 0$ funciona, dando $\cos x + \sin x = 1$, con soluciones $x = 0$ y $x = \tfrac{\pi}{2}$ en $[0, \pi]$. La segunda se reduce a $\cos x - \sin x = 1$, cuya única solución en $[0, \pi]$ es $x = 0$.

Las soluciones distintas son $x = 0$ y $x = \tfrac{\pi}{2}$, para un total de $2$.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.