Question

Cada una de $2023$ pelotas se coloca en uno de $3$ recipientes. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la probabilidad de que cada uno de los recipientes contenga un número impar de pelotas?

Each of $2023$ balls is placed in one of $3$ bins. Which of the following is closest to the probability that each of the bins will contain an odd number of balls?

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$

Respuesta: E

Conceptos:raíces de la unidad paridad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Cada pelota cae de forma independiente; usa un filtro de paridad, escribiendo que el recipiente $i$ es impar como $\tfrac{1-(-1)^{k_i}}{2}$

Each ball lands independently; use a parity filter, writing bin $i$ odd as $\tfrac{1-(-1)^{k_i}}{2}$

Pista grande:

Sumando sobre todas las asignaciones, la fracción de todos impares es $\dfrac{3^{\,n}-3}{4\cdot 3^{\,n}};$ observa a qué tiende para $n$ grande

Summing over all assignments, the all-odd fraction is $\dfrac{3^{\,n}-3}{4\cdot 3^{\,n}};$ see what it approaches for large $n$

Solución:

Al contar las asignaciones en las que los tres recipientes son impares con el filtro de paridad se obtiene $\scriptsize\frac{1}{8}\sum_{S\subseteq\{1,2,3\}}(-1)^{|S|}(3-2|S|)^n=\frac{3^n-3}{4}$ para valores impares de $n.$ Al dividir entre el total de $3^n$ asignaciones, la probabilidad es $\dfrac{3^n-3}{4\cdot 3^n},$ que para $n=2023$ está extremadamente cerca de $\tfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Counting assignments where all three bins are odd with the parity filter gives $\scriptsize\frac{1}{8}\sum_{S\subseteq\{1,2,3\}}(-1)^{|S|}(3-2|S|)^n=\frac{3^n-3}{4}$ for odd $n.$ Dividing by the $3^n$ total assignments, the probability is $\dfrac{3^n-3}{4\cdot 3^n},$ which for $n=2023$ is extremely close to $\tfrac14.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años