Question

Una cuadrícula rectangular de cuadrados tiene $141$ filas y $91$ columnas. Cada cuadrado tiene espacio para dos números. Horace y Vera llenan cada uno la cuadrícula colocando los números del $1$ al $141 \times 91 = 12{,}831$ en los cuadrados. Horace la llena horizontalmente: coloca del $1$ al $91$ en orden de izquierda a derecha en la fila $1,$ coloca del $92$ al $182$ en la fila $2$ en orden de izquierda a derecha, y continúa de forma similar hasta la fila $141.$ Vera la llena verticalmente: coloca del $1$ al $141$ en orden de arriba abajo en la columna $1,$ luego del $142$ al $282$ en la columna $2$ en orden de arriba abajo, y continúa de forma similar hasta la columna $91.$ ¿Cuántos cuadrados reciben dos copias del mismo número?

A rectangular grid of squares has $141$ rows and $91$ columns. Each square has room for two numbers. Horace and Vera each fill in the grid by putting the numbers from $1$ through $141 \times 91 = 12{,}831$ into the squares. Horace fills the grid horizontally: he puts $1$ through $91$ in order from left to right into row $1,$ puts $92$ through $182$ into row $2$ in order from left to right, and continues similarly through row $141.$ Vera fills the grid vertically: she puts $1$ through $141$ in order from top to bottom into column $1,$ then $142$ through $282$ into column $2$ in order from top to bottom, and continues similarly through column $91.$ How many squares get two copies of the same number?

$7$

$10$

$11$

$12$

$19$

Solución:

En la fila $r,$ columna $c,$ Horace escribe $(r-1)\cdot 91 + c$ y Vera escribe $(c-1)\cdot 141 + r.$ Igualarlos da $90r - 140c = -50,$ es decir $9r = 14c - 5.$ Esto requiere $c \equiv 1 \pmod 9,$ así que $c = 1, 10, 19, \ldots, 91$ , esto es $11$ valores, y cada uno da un $r$ válido entre $1$ y $141.$ Así que $11$ cuadrados coinciden.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In row $r,$ column $c,$ Horace writes $(r-1)\cdot 91 + c$ and Vera writes $(c-1)\cdot 141 + r.$ Setting these equal gives $90r - 140c = -50,$ i.e. $9r = 14c - 5.$ This requires $c \equiv 1 \pmod 9,$ so $c = 1, 10, 19, \ldots, 91$ — that is $11$ values, and each yields a valid $r$ between $1$ and $141.$ So $11$ squares match.

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años