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2025 AMC 12B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2025 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Una cuadrícula rectangular de cuadrados tiene 141141 filas y 9191 columnas. Cada cuadrado tiene espacio para dos números. Horace y Vera llenan cada uno la cuadrícula colocando los números del 11 al 141×91=12,831141 \times 91 = 12{,}831 en los cuadrados. Horace la llena horizontalmente: coloca del 11 al 9191 en orden de izquierda a derecha en la fila 1,1, coloca del 9292 al 182182 en la fila 22 en orden de izquierda a derecha, y continúa de forma similar hasta la fila 141.141. Vera la llena verticalmente: coloca del 11 al 141141 en orden de arriba abajo en la columna 1,1, luego del 142142 al 282282 en la columna 22 en orden de arriba abajo, y continúa de forma similar hasta la columna 91.91. ¿Cuántos cuadrados reciben dos copias del mismo número?

A rectangular grid of squares has 141141 rows and 9191 columns. Each square has room for two numbers. Horace and Vera each fill in the grid by putting the numbers from 11 through 141×91=12,831141 \times 91 = 12{,}831 into the squares. Horace fills the grid horizontally: he puts 11 through 9191 in order from left to right into row 1,1, puts 9292 through 182182 into row 22 in order from left to right, and continues similarly through row 141.141. Vera fills the grid vertically: she puts 11 through 141141 in order from top to bottom into column 1,1, then 142142 through 282282 into column 22 in order from top to bottom, and continues similarly through column 91.91. How many squares get two copies of the same number?

77

1010

1111

1212

1919

Respuesta: C
Conceptos:Ecuación diofánticaaritmética modularconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 2040
Pista pequeña:

Escribe el número de Horace y el número de Vera del cuadrado en la fila r,r, columna cc como fórmulas en rr y cc

Write the Horace-number and the Vera-number of the square in row r,r, column cc as formulas in rr and cc

Pista grande:

Igualarlos da 9r=14c−5;9r = 14c - 5; halla qué valores de cc hacen que rr sea un entero en el rango

Setting them equal gives 9r=14c−5;9r = 14c - 5; find which cc make rr an integer in range

Solución:

En la fila r,r, columna c,c, Horace escribe (r−1)⋅91+c(r-1)\cdot 91 + c y Vera escribe (c−1)⋅141+r.(c-1)\cdot 141 + r. Igualarlos da 90r−140c=−50,90r - 140c = -50, es decir 9r=14c−5.9r = 14c - 5. Esto requiere c≡1(mod9),c \equiv 1 \pmod 9, así que c=1,10,19,…,91c = 1, 10, 19, \ldots, 91, esto es 1111 valores, y cada uno da un rr válido entre 11 y 141.141. Así que 1111 cuadrados coinciden.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In row r,r, column c,c, Horace writes (r−1)⋅91+c(r-1)\cdot 91 + c and Vera writes (c−1)⋅141+r.(c-1)\cdot 141 + r. Setting these equal gives 90r−140c=−50,90r - 140c = -50, i.e. 9r=14c−5.9r = 14c - 5. This requires c≡1(mod9),c \equiv 1 \pmod 9, so c=1,10,19,…,91c = 1, 10, 19, \ldots, 91 — that is 1111 values, and each yields a valid rr between 11 and 141.141. So 1111 squares match.

Thus, the correct answer is C.

Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20

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