Question

Tom, Dick y Harry están jugando un juego. Comenzando al mismo tiempo, cada uno lanza repetidamente una moneda equilibrada hasta que sale su primera cara, momento en el que se detiene. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres lancen sus monedas el mismo número de veces?

Tom, Dick, and Harry are playing a game. Starting at the same time, each of them flips a fair coin repeatedly until he gets his first head, at which point he stops. What is the probability that all three flip their coins the same number of times?

$\dfrac18$

$\dfrac17$

$\dfrac16$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

Respuesta: B

Conceptos:distribución geométrica eventos independientes

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Un jugador obtiene su primera cara en el lanzamiento $n$ con probabilidad $\left(\tfrac12\right)^n$ .

A single player gets his first head on flip $n$ with probability $\left(\tfrac12\right)^n$

Pista grande:

Los tres se detienen en el lanzamiento $n$ con probabilidad $\left(\tfrac18\right)^n;$ suma esta serie geométrica para $n\ge1$ .

All three stop on flip $n$ with probability $\left(\tfrac18\right)^n;$ sum this geometric series over $n\ge1$

Solución:

La primera cara de un jugador sale en el lanzamiento $n$ con probabilidad $\left(\tfrac12\right)^n.$ Que los tres se detengan en el mismo lanzamiento $n$ tiene probabilidad $\left(\left(\tfrac12\right)^n\right)^3=\left(\tfrac18\right)^n.$ Sumando para $n\ge1,$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\tfrac18\right)^n =\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{8}}=\frac17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A player’s first head comes on flip $n$ with probability $\left(\tfrac12\right)^n.$ All three stopping on the same flip $n$ has probability $\left(\left(\tfrac12\right)^n\right)^3=\left(\tfrac18\right)^n.$ Summing over $n\ge1,$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\tfrac18\right)^n =\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{8}}=\frac17.$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12B Problema 19

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años