Question

Tom, Dick y Harry están jugando un juego. Comenzando al mismo tiempo, cada uno lanza repetidamente una moneda equilibrada hasta que sale su primera cara, momento en el que se detiene. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres lancen sus monedas el mismo número de veces?

Tom, Dick, and Harry are playing a game. Starting at the same time, each of them flips a fair coin repeatedly until he gets his first head, at which point he stops. What is the probability that all three flip their coins the same number of times?

$\dfrac18$

$\dfrac17$

$\dfrac16$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

Solución:

La primera cara de un jugador sale en el lanzamiento $n$ con probabilidad $\left(\tfrac12\right)^n.$ Que los tres se detengan en el mismo lanzamiento $n$ tiene probabilidad $\left(\left(\tfrac12\right)^n\right)^3=\left(\tfrac18\right)^n.$ Sumando para $n\ge1,$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\tfrac18\right)^n =\frac{1/8}{1-1/8}=\frac17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A player's first head comes on flip $n$ with probability $\left(\tfrac12\right)^n.$ All three stopping on the same flip $n$ has probability $\left(\left(\tfrac12\right)^n\right)^3=\left(\tfrac18\right)^n.$ Summing over $n\ge1,$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\tfrac18\right)^n =\frac{1/8}{1-1/8}=\frac17.$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años