Question

Existen exactamente $N$ números racionales distintos $k$ tales que $|k|\lt200$ , de modo que la ecuación $5x^2+kx+12=0$ tiene al menos una solución entera $x$ . ¿Cuánto vale $N$ ?

There are exactly $N$ distinct rational numbers $k$ such that $|k|\lt200$ and $5x^2+kx+12=0$ has at least one integer solution for $x.$ What is $N?$

$6$

$12$

$24$

$48$

$78$

Solución:

Si un entero $x$ es raíz, entonces $k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right),$ así que $x\ne0.$ Para $x\ge2,$ $|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}$ crece, y $|x|=39$ da $|k|\approx195.3\lt200,$ mientras que $|x|=40$ da $|k|\gt200.$

Así $x$ recorre $\pm1,\pm2,\dots,\pm39,$ que son $78$ valores. Si dos enteros $a\ne b$ dieran el mismo $k,$ entonces $5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b}$ obliga a $5ab=12,$ que no tiene soluciones enteras, así que los $78$ valores de $k$ son todos distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If an integer $x$ is a root, then $k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right),$ so $x\ne0.$ For $x\ge2,$ $|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}$ increases, and $|x|=39$ gives $|k|\approx195.3\lt200,$ while $|x|=40$ gives $|k|\gt200.$

Thus $x$ ranges over $\pm1,\pm2,\dots,\pm39,$ which is $78$ values. If two integers $a\ne b$ gave the same $k,$ then $5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b}$ forces $5ab=12,$ which has no integer solutions, so all $78$ values of $k$ are distinct.

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años