Question

En el triángulo $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $CA = 15.$ Los puntos distintos $D,$ $E$ y $F$ están sobre los segmentos $BC,$ $CA,$ y $DE,$ respectivamente, de modo que $AD \perp BC,$ $DE \perp AC,$ y $AF \perp BF.$ La longitud del segmento $DF$ se puede escribir como $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15.$ Distinct points $D,$ $E,$ and $F$ lie on segments $BC,$ $CA,$ and $DE,$ respectively, such that $AD \perp BC,$ $DE \perp AC,$ and $AF \perp BF.$ The length of segment $DF$ can be written as $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Solución:

La altura desde $A$ hasta $BC$ da $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12.$ Como $DE \perp AC,$ el triángulo $AED \sim ADC,$ lo que da $DE = \tfrac{36}{5}$ y $AE = \tfrac{48}{5}.$ Como $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ el cuadrilátero $ABDF$ es cíclico, así que $\angle ABD = \angle AFE,$ haciendo semejantes los triángulos rectángulos $ABD$ y $AFE$ : $\dfrac{FE}{5} = \dfrac{48/5}{12},$ así que $FE = 4.$ Por lo tanto $DF = DE - FE$ $= \tfrac{36}{5} - 4$ $= \tfrac{16}{5},$ y $m + n = 21.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The altitude from $A$ to $BC$ gives $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12.$ Because $DE \perp AC,$ triangle $AED \sim ADC,$ giving $DE = \tfrac{36}{5}$ and $AE = \tfrac{48}{5}.$ Since $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ quadrilateral $ABDF$ is cyclic, so $\angle ABD = \angle AFE,$ making right triangles $ABD$ and $AFE$ similar: $\dfrac{FE}{5} = \dfrac{48/5}{12},$ so $FE = 4.$ Hence $DF = DE - FE$ $= \tfrac{36}{5} - 4$ $= \tfrac{16}{5},$ and $m + n = 21.$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años