Question

Jerry parte del $0$ en la recta numérica real. Lanza una moneda justa $8$ veces. Cuando sale cara, se mueve $1$ unidad en la dirección positiva; cuando sale cruz, se mueve $1$ unidad en la dirección negativa. La probabilidad de que alcance $4$ en algún momento de este proceso es $\dfrac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ? (Por ejemplo, tiene éxito si su secuencia de lanzamientos es HTHHHHHH.)

Jerry starts at $0$ on the real number line. He tosses a fair coin $8$ times. When he gets heads, he moves $1$ unit in the positive direction; when he gets tails, he moves $1$ unit in the negative direction. The probability that he reaches $4$ at some time during this process is $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$ (For example, he succeeds if his sequence of tosses is HTHHHHHH.)

$69$

$151$

$257$

$293$

$313$

Solución:

Cuenta las secuencias de $8$ lanzamientos cuyo total acumulado alcanza $4.$ Con a lo sumo $2$ cruces ciertamente alcanza $4,$ lo que aporta $\begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered}$ secuencias.

Con exactamente $3$ cruces alcanza $4$ solo si lo hace antes de la segunda cruz, lo que permite a lo sumo una cruz en los primeros $5$ lanzamientos; esto da $4+4=8$ secuencias. Con exactamente $4$ cruces, solo funciona HHHHTTTT, lo que da $1.$ No puede alcanzar $4$ con menos de $4$ caras.

Así que hay $37+8+1=46$ secuencias favorables de un total de $2^8=256,$ una probabilidad de $\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}.$ Entonces $a+b=23+128=151.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Count the sequences of $8$ tosses whose running total reaches $4.$ With at most $2$ tails he certainly reaches $4,$ contributing $\begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered}$ sequences.

With exactly $3$ tails he reaches $4$ only if he does so before the second tail, which allows at most one tail in the first $5$ tosses; this gives $4+4=8$ sequences. With exactly $4$ tails, only HHHHTTTT works, giving $1.$ He cannot reach $4$ with fewer than $4$ heads.

So there are $37+8+1=46$ favorable sequences out of $2^8=256,$ a probability of $\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}.$ Then $a+b=23+128=151.$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años