Question

Jerry parte del $0$ en la recta numérica real. Lanza una moneda justa $8$ veces. Cuando sale cara, se mueve $1$ unidad en la dirección positiva; cuando sale cruz, se mueve $1$ unidad en la dirección negativa. La probabilidad de que alcance $4$ en algún momento de este proceso es $\dfrac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ? (Por ejemplo, tiene éxito si su secuencia de lanzamientos es HTHHHHHH.)

Jerry starts at $0$ on the real number line. He tosses a fair coin $8$ times. When he gets heads, he moves $1$ unit in the positive direction; when he gets tails, he moves $1$ unit in the negative direction. The probability that he reaches $4$ at some time during this process is $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$ (For example, he succeeds if his sequence of tosses is HTHHHHHH.)

$69$

$151$

$257$

$293$

$313$

Respuesta: B

Conceptos:camino aleatorio análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Cuenta las $2^8$ secuencias de lanzamientos en las que el total acumulado alcanza $4$ .

Count the $2^8$ toss sequences in which the running total reaches $4$

Pista grande:

Con a lo sumo $2$ cruces siempre alcanza $4;$ con $3$ o $4$ cruces solo funcionan algunos órdenes.

With at most $2$ tails he always reaches $4;$ with $3$ or $4$ tails only some orders work

Solución:

Contemos las secuencias de $8$ lanzamientos cuyo total acumulado alcanza $4.$ Con a lo sumo $2$ cruces, con seguridad alcanza $4,$ lo que aporta $\begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered}$ secuencias.

Con exactamente $3$ cruces, puede alcanzar $4$ por primera vez en el lanzamiento $4$ o en el $6.$ Alcanzarlo en el lanzamiento $4$ requiere cuatro caras iniciales, tras las cuales la cara restante tiene $4$ posiciones posibles. En caso contrario, los lanzamientos $5$ y $6$ son caras, uno de los cuatro primeros es cruz y los dos últimos son cruces, lo que da otras $4$ posibilidades. Así, este caso aporta $8.$ Con exactamente $4$ cruces, solo funciona HHHHTTTT, lo que da $1.$ No puede alcanzar $4$ con menos de $4$ caras.

Por tanto, hay $37+8+1=46$ secuencias favorables de $2^8=256,$ una probabilidad de $\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}.$ Entonces $a+b=23+128=151.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Count the sequences of $8$ tosses whose running total reaches $4.$ With at most $2$ tails he certainly reaches $4,$ contributing $\begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered}$ sequences.

With exactly $3$ tails, he can first reach $4$ on toss $4$ or toss $6.$ Reaching it on toss $4$ requires four initial heads, after which the remaining head has $4$ possible positions. Otherwise, tosses $5$ and $6$ are heads, one of the first four tosses is a tail, and the last two are tails, again giving $4$ possibilities. Thus this case contributes $8.$ With exactly $4$ tails, only HHHHTTTT works, giving $1.$ He cannot reach $4$ with fewer than $4$ heads.

So there are $37+8+1=46$ favorable sequences out of $2^8=256,$ a probability of $\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}.$ Then $a+b=23+128=151.$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12A Problema 19

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años