Question

Se lanzan dos dados justos, cada uno con al menos $6$ caras. En cada cara de cada dado está impreso un entero distinto desde $1$ hasta el número de caras de ese dado, inclusive. La probabilidad de obtener una suma de $7$ es $\dfrac34$ de la probabilidad de obtener una suma de $10,$ y la probabilidad de obtener una suma de $12$ es $\dfrac{1}{12}.$ ¿Cuál es el menor número posible de caras de los dos dados combinados?

Two fair dice, each with at least $6$ faces are rolled. On each face of each die is printed a distinct integer from $1$ to the number of faces on that die, inclusive. The probability of rolling a sum of $7$ is $\dfrac34$ of the probability of rolling a sum of $10,$ and the probability of rolling a sum of $12$ is $\dfrac{1}{12}.$ What is the least possible number of faces on the two dice combined?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Respuesta: B

Conceptos:dados (probabilidad)optimización

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Con al menos $6$ caras cada uno, una suma de $7$ siempre tiene $6$ formas, así que una suma de $10$ tiene $8$ formas

With at least $6$ faces each, a sum of $7$ always has $6$ ways, so a sum of $10$ has $8$ ways

Pista grande:

Sean los dados con $a\le b$ caras; cuenta los resultados para las sumas $10$ y $12$ y usa $\text{formas}(12)=\tfrac{ab}{12}$

Let the dice have $a\le b$ faces; count outcomes for sums $10$ and $12$ and use $\text{ways}(12)=\tfrac{ab}{12}$

Solución:

Sean los dados de $a\le b$ caras. Como ambos tienen al menos $6$ caras, una suma de $7$ se obtiene de exactamente $6$ maneras, así que una suma de $10$ se obtiene de $6\div\tfrac34=8$ maneras.

El número de maneras de obtener $10$ es $\min(a,9)$ $-\max(1,10-b)+1=8.$ Una suma de $12$ tiene probabilidad $\tfrac{1}{12},$ así que se obtiene de $\tfrac{ab}{12}$ maneras.

Tener $8$ resultados para una suma de $10$ exige $a\ge8$ y $b\ge9,$ de modo que necesariamente $a+b\ge17.$ Para $(a,b)=(8,9),$ una suma de $10$ tiene $8$ resultados, mientras que una suma de $12$ tiene los $6$ resultados en los que el primer dado muestra $3,4,\ldots,8.$ Como $\frac{6}{8\cdot9}=\frac{1}{12},$ se cumplen ambas condiciones y se alcanza la cota inferior $17$ .

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let the dice have $a\le b$ faces. Since both have at least $6$ faces, a sum of $7$ occurs in exactly $6$ ways, so a sum of $10$ occurs in $6\div\tfrac34=8$ ways.

The number of ways to roll $10$ is $\min(a,9)$ $-\max(1,10-b)+1=8.$ A sum of $12$ has probability $\tfrac{1}{12},$ so it occurs in $\tfrac{ab}{12}$ ways.

Having $8$ outcomes for a sum of $10$ requires $a\ge8$ and $b\ge9,$ so necessarily $a+b\ge17.$ For $(a,b)=(8,9),$ a sum of $10$ has $8$ outcomes, while a sum of $12$ has the $6$ outcomes with the first die showing $3,4,\ldots,8.$ Since $\frac{6}{8\cdot9}=\frac{1}{12},$ both conditions hold and the lower bound $17$ is attained.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Spring Problema 19

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años