Question

Se lanzan dos dados justos, cada uno con al menos $6$ caras. En cada cara de cada dado está impreso un entero distinto desde $1$ hasta el número de caras de ese dado, inclusive. La probabilidad de obtener una suma de $7$ es $\dfrac34$ de la probabilidad de obtener una suma de $10,$ y la probabilidad de obtener una suma de $12$ es $\dfrac{1}{12}.$ ¿Cuál es el menor número posible de caras de los dos dados combinados?

Two fair dice, each with at least $6$ faces are rolled. On each face of each die is printed a distinct integer from $1$ to the number of faces on that die, inclusive. The probability of rolling a sum of $7$ is $\dfrac34$ of the probability of rolling a sum of $10,$ and the probability of rolling a sum of $12$ is $\dfrac{1}{12}.$ What is the least possible number of faces on the two dice combined?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Solución:

Sean los dados con $a\le b$ caras. Como ambos tienen al menos $6$ caras, una suma de $7$ ocurre en exactamente $6$ formas, así que una suma de $10$ ocurre en $6\div\tfrac34=8$ formas.

El número de formas de obtener $10$ es $\min(a,9)$ $-\max(1,10-b)+1=8.$ Una suma de $12$ tiene probabilidad $\tfrac{1}{12},$ así que ocurre en $\tfrac{ab}{12}$ formas.

Probando $a=8,b=9$ : la suma $10$ tiene $8-1+1=8$ formas, y la suma $12$ tiene $6=\tfrac{72}{12}$ formas. Ambas condiciones se cumplen, dando $a+b=17.$

Verificando todos los totales menores, $a+b=16$ falla, así que $17$ es el mínimo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the dice have $a\le b$ faces. Since both have at least $6$ faces, a sum of $7$ occurs in exactly $6$ ways, so a sum of $10$ occurs in $6\div\tfrac34=8$ ways.

The number of ways to roll $10$ is $\min(a,9)$ $-\max(1,10-b)+1=8.$ A sum of $12$ has probability $\tfrac{1}{12},$ so it occurs in $\tfrac{ab}{12}$ ways.

Trying $a=8,b=9$ : sum $10$ has $8-1+1=8$ ways, and sum $12$ has $6=\tfrac{72}{12}$ ways. Both conditions hold, giving $a+b=17.$

Checking all smaller totals $a+b=16$ fails, so $17$ is minimal.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Spring Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años