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2024 AMC 12B Problema 19

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 19 del 2024 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:identidad trigonométricaáreatransformación

Nivel de dificultad: 2040

19.

El triángulo equilátero △ABC\triangle ABC con lado de longitud 1414 se rota alrededor de su centro un ángulo θ,\theta, donde 0<θ<60∘,0 \lt \theta \lt 60^\circ, para formar △DEF.\triangle DEF. Ve la figura. El área del hexágono ADBECFADBECF es 913.91\sqrt3. ¿Cuánto vale tan⁡θ\tan\theta?

Equilateral △ABC\triangle ABC with side length 1414 is rotated about its center by angle θ,\theta, where 0<θ<60∘,0 \lt \theta \lt 60^\circ, to form △DEF.\triangle DEF. See the figure. The area of hexagon ADBECFADBECF is 913.91\sqrt3. What is tan⁡θ?\tan\theta?

34\dfrac{3}{4}

5311\dfrac{5\sqrt3}{11}

45\dfrac{4}{5}

1113\dfrac{11}{13}

7313\dfrac{7\sqrt3}{13}

Solución:

Los seis vértices están sobre la circunferencia circunscrita de radio R=143,R = \dfrac{14}{\sqrt3}, así que R2=1963.R^2 = \dfrac{196}{3}. Recorriéndola, los ángulos centrales se alternan entre θ\theta (tres veces) y 120∘−θ120^\circ - \theta (tres veces). El área del hexágono cíclico es 12R2(3sin⁡θ+3sin⁡(120∘−θ))=98(sin⁡θ+sin⁡(120∘−θ)). \begin{aligned} &\tfrac12 R^2\bigl(3\sin\theta + 3\sin(120^\circ - \theta)\bigr) \\ &= 98\bigl(\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta)\bigr). \end{aligned}

Por la identidad de suma a producto, sin⁡θ+sin⁡(120∘−θ)\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta) =2sin⁡60∘cos⁡(θ−60∘)= 2\sin 60^\circ\cos(\theta - 60^\circ) =3cos⁡(60∘−θ).= \sqrt3\cos(60^\circ - \theta). Igualando el área a 91391\sqrt3 se obtiene 3cos⁡(60∘−θ)\sqrt3\cos(60^\circ - \theta) =91398=13314,= \dfrac{91\sqrt3}{98} = \dfrac{13\sqrt3}{14}, así que cos⁡(60∘−θ)=1314\cos(60^\circ - \theta) = \dfrac{13}{14} y sin⁡(60∘−θ)=3314.\sin(60^\circ - \theta) = \dfrac{3\sqrt3}{14}.

Entonces tan⁡(60∘−θ)=3313,\tan(60^\circ - \theta) = \dfrac{3\sqrt3}{13}, y tan⁡θ=tan⁡(60∘−(60∘−θ))=3−33131+3⋅3313=103132213=5311. \begin{aligned} &\tan\theta = \tan\bigl(60^\circ - (60^\circ - \theta)\bigr) \\ &= \frac{\sqrt3 - \frac{3\sqrt3}{13}}{1 + \sqrt3\cdot\frac{3\sqrt3}{13}} \\ &= \frac{\frac{10\sqrt3}{13}}{\frac{22}{13}} \\ &= \frac{5\sqrt3}{11}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The six vertices lie on the circumcircle of radius R=143,R = \dfrac{14}{\sqrt3}, so R2=1963.R^2 = \dfrac{196}{3}. Going around, the central angles alternate between θ\theta (three times) and 120∘−θ120^\circ - \theta (three times). The cyclic-hexagon area is 12R2(3sin⁡θ+3sin⁡(120∘−θ))=98(sin⁡θ+sin⁡(120∘−θ)). \begin{aligned} &\tfrac12 R^2\bigl(3\sin\theta + 3\sin(120^\circ - \theta)\bigr) \\ &= 98\bigl(\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta)\bigr). \end{aligned}

By sum-to-product, sin⁡θ+sin⁡(120∘−θ)\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta) =2sin⁡60∘cos⁡(θ−60∘)= 2\sin 60^\circ\cos(\theta - 60^\circ) =3cos⁡(60∘−θ).= \sqrt3\cos(60^\circ - \theta). Setting the area to 91391\sqrt3 gives 3cos⁡(60∘−θ)\sqrt3\cos(60^\circ - \theta) =91398=13314,= \dfrac{91\sqrt3}{98} = \dfrac{13\sqrt3}{14}, so cos⁡(60∘−θ)=1314\cos(60^\circ - \theta) = \dfrac{13}{14} and sin⁡(60∘−θ)=3314.\sin(60^\circ - \theta) = \dfrac{3\sqrt3}{14}.

Then tan⁡(60∘−θ)=3313,\tan(60^\circ - \theta) = \dfrac{3\sqrt3}{13}, and tan⁡θ=tan⁡(60∘−(60∘−θ))=3−33131+3⋅3313=103132213=5311. \begin{aligned} &\tan\theta = \tan\bigl(60^\circ - (60^\circ - \theta)\bigr) \\ &= \frac{\sqrt3 - \frac{3\sqrt3}{13}}{1 + \sqrt3\cdot\frac{3\sqrt3}{13}} \\ &= \frac{\frac{10\sqrt3}{13}}{\frac{22}{13}} \\ &= \frac{5\sqrt3}{11}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

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