Question

En el $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ y $AC = 97.$ Una circunferencia con centro $A$ y radio $AB$ corta a $\overline{BC}$ en los puntos $B$ y $X.$ Además, $\overline{BX}$ y $\overline{CX}$ tienen longitudes enteras. ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ and $AC = 97.$ A circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $\overline{BC}$ at points $B$ and $X.$ Moreover $\overline{BX}$ and $\overline{CX}$ have integer lengths. What is $BC?$

$11$

$28$

$33$

$61$

$72$

Respuesta: D

Conceptos:potencia de un punto factorización en primos

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

La potencia de un punto desde $C$ da $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ .

Power of a Point from $C$ gives $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$

Pista grande:

$AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ factoriza con $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$

$AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ factor with $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$

Solución:

Por el teorema de la potencia de un punto, $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ , donde $AB$ es el radio. Así que $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.$

Como $BC = BX + CX$ y $CX$ son enteros, son factores complementarios de $2013 = 3\cdot 11\cdot 61.$ Dado que $CX \lt BC \lt AB + AC = 183,$ la única posibilidad es $CX = 33$ y $BC = 61.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Power of a Point Theorem, $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ where $AB$ is the radius. Thus $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.$

Since $BC = BX + CX$ and $CX$ are integers, they are complementary factors of $2013 = 3\cdot 11\cdot 61.$ As $CX \lt BC \lt AB + AC = 183,$ the only possibility is $CX = 33$ and $BC = 61.$

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12A Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años