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2019 AMC 12B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2019 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Raashan, Sylvia y Ted juegan al siguiente juego. Cada uno comienza con $1.\$1. Una campana suena cada 1515 segundos, momento en el cual cada uno de los jugadores que en ese momento tiene dinero elige de manera independiente y al azar a uno de los otros dos jugadores y le da $1\$1 a ese jugador. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de que la campana haya sonado 20192019 veces, cada jugador tenga $1\$1? (Por ejemplo, Raashan y Ted podrían decidir cada uno dar $1\$1 a Sylvia, y Sylvia podría decidir dar su dólar a Ted, momento en el cual Raashan tendrá $0,\$0, Sylvia tendrá $2,\$2, y Ted tendrá $1,\$1, y ese es el final de la primera ronda de juego. En la segunda ronda Raashan no tiene dinero para dar, pero Sylvia y Ted podrían elegirse el uno al otro para darse su $1\$1, y las cantidades serán las mismas al final de la segunda ronda.)

Raashan, Sylvia, and Ted play the following game. Each starts with $1.\$1. A bell rings every 1515 seconds, at which time each of the players who currently have money simultaneously chooses one of the other two players independently and at random and gives $1\$1 to that player. What is the probability that after the bell has rung 20192019 times, each player will have $1?\$1? (For example, Raashan and Ted may each decide to give $1\$1 to Sylvia, and Sylvia may decide to give her dollar to Ted, at which point Raashan will have $0,\$0, Sylvia will have $2,\$2, and Ted will have $1,\$1, and that is the end of the first round of play. In the second round Raashan has no money to give, but Sylvia and Ted might choose each other to give their $1\$1 to, and the holdings will be the same at the end of the second round.)

17\dfrac{1}{7}

14\dfrac{1}{4}

13\dfrac{1}{3}

12\dfrac{1}{2}

23\dfrac{2}{3}

Respuesta: B
Conceptos:probabilidad recursivasimetríainvariante
Nivel de dificultad: 1980
Pista pequeña:

Los únicos estados son (1,1,1)(1,1,1) y las permutaciones de (2,1,0)(2,1,0)

The only states are (1,1,1)(1,1,1) and permutations of (2,1,0)(2,1,0)

Pista grande:

Demuestra que desde cualquiera de los dos tipos de estado el siguiente estado es (1,1,1)(1,1,1) con probabilidad 14\dfrac14

Show that from either kind of state the next state is (1,1,1)(1,1,1) with probability 14\dfrac14

Solución:

Desde (1,1,1),(1,1,1), cada uno de los tres jugadores da a uno de los otros dos, así que hay 88 resultados igualmente probables; solo los 22 patrones de regalo cíclicos regresan a (1,1,1),(1,1,1), una probabilidad de 14.\dfrac14.

Desde un estado (2,1,0)(2,1,0) el jugador sin dinero no da nada, y revisar las 44 elecciones igualmente probables de los otros dos muestra que exactamente una produce (1,1,1),(1,1,1), de nuevo probabilidad 14.\dfrac14.

Así que después de cualquier campanada la probabilidad de (1,1,1)(1,1,1) es 14,\dfrac14, incluso después de 20192019 campanadas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

From (1,1,1),(1,1,1), each of the three players gives to one of two others, so there are 88 equally likely outcomes; only the 22 cyclic gift patterns return to (1,1,1),(1,1,1), a probability of 14.\dfrac14.

From a (2,1,0)(2,1,0) state the broke player gives nothing, and checking the 44 equally likely choices of the other two shows exactly one yields (1,1,1),(1,1,1), again probability 14.\dfrac14.

So after any ring the probability of (1,1,1)(1,1,1) is 14,\dfrac14, including after 20192019 rings.

Thus, B is the correct answer.

Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20

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