Question

Raashan, Sylvia y Ted juegan al siguiente juego. Cada uno comienza con $\$1.$ Una campana suena cada $15$ segundos, momento en el cual cada uno de los jugadores que en ese momento tiene dinero elige de manera independiente y al azar a uno de los otros dos jugadores y le da $\$1$ a ese jugador. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de que la campana haya sonado $2019$ veces, cada jugador tenga $\$1$ ? (Por ejemplo, Raashan y Ted podrían decidir cada uno dar $\$1$ a Sylvia, y Sylvia podría decidir dar su dólar a Ted, momento en el cual Raashan tendrá $\$0,$ Sylvia tendrá $\$2,$ y Ted tendrá $\$1,$ y ese es el final de la primera ronda de juego. En la segunda ronda Raashan no tiene dinero para dar, pero Sylvia y Ted podrían elegirse el uno al otro para darse su $\$1$ , y las cantidades serán las mismas al final de la segunda ronda.)

Raashan, Sylvia, and Ted play the following game. Each starts with $\$1.$ A bell rings every $15$ seconds, at which time each of the players who currently have money simultaneously chooses one of the other two players independently and at random and gives $\$1$ to that player. What is the probability that after the bell has rung $2019$ times, each player will have $\$1?$ (For example, Raashan and Ted may each decide to give $\$1$ to Sylvia, and Sylvia may decide to give her dollar to Ted, at which point Raashan will have $\$0,$ Sylvia will have $\$2,$ and Ted will have $\$1,$ and that is the end of the first round of play. In the second round Raashan has no money to give, but Sylvia and Ted might choose each other to give their $\$1$ to, and the holdings will be the same at the end of the second round.)

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución:

Desde $(1,1,1),$ cada uno de los tres jugadores da a uno de los otros dos, así que hay $8$ resultados igualmente probables; solo los $2$ patrones de regalo cíclicos regresan a $(1,1,1),$ una probabilidad de $\dfrac14.$

Desde un estado $(2,1,0)$ el jugador sin dinero no da nada, y revisar las $4$ elecciones igualmente probables de los otros dos muestra que exactamente una produce $(1,1,1),$ de nuevo probabilidad $\dfrac14.$

Así que después de cualquier campanada la probabilidad de $(1,1,1)$ es $\dfrac14,$ incluso después de $2019$ campanadas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

From $(1,1,1),$ each of the three players gives to one of two others, so there are $8$ equally likely outcomes; only the $2$ cyclic gift patterns return to $(1,1,1),$ a probability of $\dfrac14.$

From a $(2,1,0)$ state the broke player gives nothing, and checking the $4$ equally likely choices of the other two shows exactly one yields $(1,1,1),$ again probability $\dfrac14.$

So after any ring the probability of $(1,1,1)$ is $\dfrac14,$ including after $2019$ rings.

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años