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2024 AMC 12A Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2024 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

El cuadrilátero cíclico ABCDABCD tiene lados BC=CD=3BC=CD=3 y DA=5DA=5 con ∠CDA=120∘.\angle CDA=120^\circ. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta de ABCDABCD?
Cyclic quadrilateral ABCDABCD has lengths BC=CD=3BC=CD=3 and DA=5DA=5 with ∠CDA=120∘.\angle CDA=120^\circ. What is the length of the shorter diagonal of ABCD?ABCD?
317\dfrac{31}{7}
337\dfrac{33}{7}
55
397\dfrac{39}{7}
417\dfrac{41}{7}
Respuesta: D
Conceptos:cuadrilátero cíclicoley de los cosenosTeorema de Ptolomeo
Nivel de dificultad: 1930
Pista pequeña:
En △ACD,\triangle ACD, AC2=32+52AC^2=3^2+5^2 −2⋅3⋅5cos⁡120∘-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ
In △ACD,\triangle ACD, AC2=32+52AC^2=3^2+5^2 −2⋅3⋅5cos⁡120∘-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ
Pista grande:
Halla ABAB usando ∠ABC=60∘,\angle ABC=60^\circ, luego aplica Ptolomeo: AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA
Find ABAB using ∠ABC=60∘,\angle ABC=60^\circ, then apply Ptolemy: AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA
Solución:
En △ACD,\triangle ACD, la ley de cosenos da AC2=9+25−2(15)cos⁡120∘AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ =34+15=49,=34+15=49, así que AC=7.AC=7.
Como ABCDABCD es cíclico, ∠ABC=180∘−120∘=60∘.\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ. En △ABC\triangle ABC con BC=3BC=3 y AC=7,AC=7, la ley de cosenos da 49=AB2+9−3AB,49=AB^2+9-3AB, así que AB=8.AB=8. Por Ptolomeo, AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA =8⋅3+3⋅5=39,=8\cdot3+3\cdot5=39, de donde BD=397.BD=\tfrac{39}{7}. Esto es más corto que AC=7.AC=7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
In △ACD,\triangle ACD, the law of cosines gives AC2=9+25−2(15)cos⁡120∘AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ =34+15=49,=34+15=49, so AC=7.AC=7.
Since ABCDABCD is cyclic, ∠ABC=180∘−120∘=60∘.\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ. In △ABC\triangle ABC with BC=3BC=3 and AC=7,AC=7, the law of cosines gives 49=AB2+9−3AB,49=AB^2+9-3AB, so AB=8.AB=8. By Ptolemy, AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA =8⋅3+3⋅5=39,=8\cdot3+3\cdot5=39, hence BD=397.BD=\tfrac{39}{7}. This is shorter than AC=7.AC=7.
Thus, the correct answer is D.
Problema 18#18
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