Question

El cuadrilátero cíclico $ABCD$ tiene lados $BC=CD=3$ y $DA=5$ con $\angle CDA=120^\circ.$ ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta de $ABCD$ ?

Cyclic quadrilateral $ABCD$ has lengths $BC=CD=3$ and $DA=5$ with $\angle CDA=120^\circ.$ What is the length of the shorter diagonal of $ABCD?$

$\dfrac{31}{7}$

$\dfrac{33}{7}$

$5$

$\dfrac{39}{7}$

$\dfrac{41}{7}$

Solución:

En $\triangle ACD,$ la ley de cosenos da $AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ$ $=34+15=49,$ así que $AC=7.$

Como $ABCD$ es cíclico, $\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$ En $\triangle ABC$ con $BC=3$ y $AC=7,$ la ley de cosenos da $49=AB^2+9-3AB,$ así que $AB=8.$ Por Ptolomeo, $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ $=8\cdot3+3\cdot5=39,$ de donde $BD=\tfrac{39}{7}.$ Esto es más corto que $AC=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In $\triangle ACD,$ the law of cosines gives $AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ$ $=34+15=49,$ so $AC=7.$

Since $ABCD$ is cyclic, $\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$ In $\triangle ABC$ with $BC=3$ and $AC=7,$ the law of cosines gives $49=AB^2+9-3AB,$ so $AB=8.$ By Ptolemy, $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ $=8\cdot3+3\cdot5=39,$ hence $BD=\tfrac{39}{7}.$ This is shorter than $AC=7.$

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años