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2005 AMC 12B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2005 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Sean xx y yy enteros de dos dígitos tales que yy se obtiene invirtiendo los dígitos de x.x. Los enteros xx y yy satisfacen x2−y2=m2x^2 - y^2 = m^2 para algún entero positivo m.m. ¿Cuánto vale x+y+mx + y + m?
Let xx and yy be two-digit integers such that yy is obtained by reversing the digits of x.x. The integers xx and yy satisfy x2−y2=m2x^2 - y^2 = m^2 for some positive integer m.m. What is x+y+m?x + y + m?
8888
112112
116116
144144
154154
Respuesta: E
Conceptos:dígitosdiferencia de cuadradoscuadrado perfecto
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:
Escribe x=10a+bx = 10a + b y y=10b+ay = 10b + a; entonces x2−y2=99(a2−b2)x^2 - y^2 = 99(a^2 - b^2).
Write x=10a+bx = 10a + b and y=10b+ay = 10b + a; then x2−y2=99(a2−b2)x^2 - y^2 = 99(a^2 - b^2)
Pista grande:
Para que 99(a−b)(a+b)99(a-b)(a+b) sea un cuadrado perfecto, a+ba+b debe ser 1111.
For 99(a−b)(a+b)99(a-b)(a+b) to be a perfect square, a+ba+b must be 1111
Solución:
Sean x=10a+bx = 10a + b y y=10b+ay = 10b + a con a>b.a \gt b. Entonces x2−y2=(10a+b)2−(10b+a)2=99(a2−b2)=99(a+b)(a−b). \begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}
Como 99=9⋅11,99 = 9 \cdot 11, para que sea un cuadrado perfecto necesitamos que (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) sea múltiplo de 11.11. Como a+b≤17a + b \le 17 y a−b≤8,a - b \le 8, el único múltiplo de 1111 disponible es a+b=11.a + b = 11.
Entonces x2−y2=9⋅112(a−b),x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b), que es un cuadrado perfecto exactamente cuando a−ba - b es un cuadrado perfecto. Como a+b=11a+b=11 es impar, a−ba-b es impar; y como 1≤a−b≤8,1 \le a-b \le 8, su único valor cuadrado posible es 1.1. Por tanto, (a,b)=(6,5).(a, b) = (6, 5).
Así, x=65,x = 65, y=56,y = 56, y m=652−562m = \sqrt{65^2 - 56^2} =1089=33.= \sqrt{1089} = 33. Por tanto, x+y+mx + y + m =65+56+33=154.= 65 + 56 + 33 = 154.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let x=10a+bx = 10a + b and y=10b+ay = 10b + a with a>b.a \gt b. Then x2−y2=(10a+b)2−(10b+a)2=99(a2−b2)=99(a+b)(a−b). \begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}
Since 99=9⋅11,99 = 9 \cdot 11, for this to be a perfect square we need (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) to be a multiple of 11.11. As a+b≤17a + b \le 17 and a−b≤8,a - b \le 8, the only multiple of 1111 available is a+b=11.a + b = 11.
Then x2−y2=9⋅112(a−b),x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b), which is a perfect square exactly when a−ba - b is a perfect square. Because a+b=11a+b=11 is odd, a−ba-b is odd; and because 1≤a−b≤8,1 \le a-b \le 8, its only possible square value is 1.1. Hence (a,b)=(6,5).(a, b) = (6, 5).
So x=65,x = 65, y=56,y = 56, and m=652−562m = \sqrt{65^2 - 56^2} =1089=33.= \sqrt{1089} = 33. Thus x+y+mx + y + m =65+56+33=154.= 65 + 56 + 33 = 154.
Thus, the correct answer is E.
Problema 18#18
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