Question

Sean $x$ y $y$ enteros de dos dígitos tales que $y$ se obtiene invirtiendo los dígitos de $x.$ Los enteros $x$ y $y$ satisfacen $x^2 - y^2 = m^2$ para algún entero positivo $m.$ ¿Cuánto vale $x + y + m$ ?

Let $x$ and $y$ be two-digit integers such that $y$ is obtained by reversing the digits of $x.$ The integers $x$ and $y$ satisfy $x^2 - y^2 = m^2$ for some positive integer $m.$ What is $x + y + m?$

$88$

$112$

$116$

$144$

$154$

Solución:

Sea $x = 10a + b$ y $y = 10b + a$ con $a \gt b.$ Entonces $\begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Como $99 = 9 \cdot 11,$ para que esto sea un cuadrado perfecto necesitamos $11 \mid (a+b)(a-b).$ Como $a + b \le 17$ y $a - b \le 8,$ el único múltiplo de $11$ disponible es $a + b = 11.$

Entonces $x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b),$ que es un cuadrado perfecto exactamente cuando $a - b$ es un cuadrado perfecto. Tomando $a - b = 1$ con $a + b = 11$ se obtiene $(a, b) = (6, 5).$

Así que $x = 65,$ $y = 56,$ y $m = \sqrt{65^2 - 56^2}$ $= \sqrt{1089} = 33.$ En consecuencia $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33 = 154.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x = 10a + b$ and $y = 10b + a$ with $a \gt b.$ Then $\begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Since $99 = 9 \cdot 11,$ for this to be a perfect square we need $11 \mid (a+b)(a-b).$ As $a + b \le 17$ and $a - b \le 8,$ the only multiple of $11$ available is $a + b = 11.$

Then $x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b),$ which is a perfect square exactly when $a - b$ is a perfect square. Taking $a - b = 1$ with $a + b = 11$ gives $(a, b) = (6, 5).$

So $x = 65,$ $y = 56,$ and $m = \sqrt{65^2 - 56^2}$ $= \sqrt{1089} = 33.$ Thus $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33 = 154.$

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años