Question

Sean $x$ y $y$ enteros de dos dígitos tales que $y$ se obtiene invirtiendo los dígitos de $x.$ Los enteros $x$ y $y$ satisfacen $x^2 - y^2 = m^2$ para algún entero positivo $m.$ ¿Cuánto vale $x + y + m$ ?

Let $x$ and $y$ be two-digit integers such that $y$ is obtained by reversing the digits of $x.$ The integers $x$ and $y$ satisfy $x^2 - y^2 = m^2$ for some positive integer $m.$ What is $x + y + m?$

$88$

$112$

$116$

$144$

$154$

Respuesta: E

Conceptos:dígitos diferencia de cuadrados cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Escribe $x = 10a + b$ y $y = 10b + a$ ; entonces $x^2 - y^2 = 99(a^2 - b^2)$ .

Write $x = 10a + b$ and $y = 10b + a$ ; then $x^2 - y^2 = 99(a^2 - b^2)$

Pista grande:

Para que $99(a-b)(a+b)$ sea un cuadrado perfecto, $a+b$ debe ser $11$ .

For $99(a-b)(a+b)$ to be a perfect square, $a+b$ must be $11$

Solución:

Sean $x = 10a + b$ y $y = 10b + a$ con $a \gt b.$ Entonces $\begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Como $99 = 9 \cdot 11,$ para que sea un cuadrado perfecto necesitamos que $(a+b)(a-b)$ sea múltiplo de $11.$ Como $a + b \le 17$ y $a - b \le 8,$ el único múltiplo de $11$ disponible es $a + b = 11.$

Entonces $x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b),$ que es un cuadrado perfecto exactamente cuando $a - b$ es un cuadrado perfecto. Como $a+b=11$ es impar, $a-b$ es impar; y como $1 \le a-b \le 8,$ su único valor cuadrado posible es $1.$ Por tanto, $(a, b) = (6, 5).$

Así, $x = 65,$ $y = 56,$ y $m = \sqrt{65^2 - 56^2}$ $= \sqrt{1089} = 33.$ Por tanto, $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33 = 154.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x = 10a + b$ and $y = 10b + a$ with $a \gt b.$ Then $\begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Since $99 = 9 \cdot 11,$ for this to be a perfect square we need $(a+b)(a-b)$ to be a multiple of $11.$ As $a + b \le 17$ and $a - b \le 8,$ the only multiple of $11$ available is $a + b = 11.$

Then $x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b),$ which is a perfect square exactly when $a - b$ is a perfect square. Because $a+b=11$ is odd, $a-b$ is odd; and because $1 \le a-b \le 8,$ its only possible square value is $1.$ Hence $(a, b) = (6, 5).$

So $x = 65,$ $y = 56,$ and $m = \sqrt{65^2 - 56^2}$ $= \sqrt{1089} = 33.$ Thus $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33 = 154.$

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12B Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años