Question

Si $a,$ $b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $a(b+c)=152,$ $b(c+a)=162,$ y $c(a+b)=170,$ entonces $abc$ es

If $a,$ $b,$ and $c$ are positive real numbers such that $a(b+c)=152,$ $b(c+a)=162,$ and $c(a+b)=170,$ then $abc$ is

$672$

$688$

$704$

$720$

$750$

Solución:

Sumar las tres ecuaciones da $2(ab+bc+ca)=484,$ así que $ab+bc+ca=242.$ Restar de esto cada ecuación original produce $bc=90,$ $ca=80,$ y $ab=72.$

Al multiplicar, $(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2,$ y como $abc\gt0,$ obtenemos $abc=720.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding the three equations gives $2(ab+bc+ca)=484,$ so $ab+bc+ca=242.$ Subtracting each original equation from this yields $bc=90,$ $ca=80,$ and $ab=72.$

Multiplying, $(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2,$ and since $abc\gt0,$ we get $abc=720.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años