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2002 AMC 12B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2002 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Si a,a, b,b, y cc son números reales positivos tales que a(b+c)=152,a(b+c)=152, b(c+a)=162,b(c+a)=162, y c(a+b)=170,c(a+b)=170, entonces abcabc es

If a,a, b,b, and cc are positive real numbers such that a(b+c)=152,a(b+c)=152, b(c+a)=162,b(c+a)=162, and c(a+b)=170,c(a+b)=170, then abcabc is

672672

688688

704704

720720

750750

Respuesta: D
Conceptos:sistema de ecuacionessimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:

Suma las tres ecuaciones para obtener ab+bc+caab+bc+ca.

Add all three equations to get ab+bc+caab+bc+ca

Pista grande:

Resta cada ecuación original de ese total para hallar ab,ab, bc,bc, ca,ca, luego multiplica y toma una raíz cuadrada.

Subtract each original equation from that total to find ab,ab, bc,bc, ca,ca, then multiply and take a square root

Solución:

Sumar las tres ecuaciones da 2(ab+bc+ca)=484,2(ab+bc+ca)=484, así que ab+bc+ca=242.ab+bc+ca=242. Restar de esto cada ecuación original produce bc=90,bc=90, ca=80,ca=80, y ab=72.ab=72.

Al multiplicar, (abc)2=90⋅80⋅72=7202,(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2, y como abc>0,abc\gt0, obtenemos abc=720.abc=720.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding the three equations gives 2(ab+bc+ca)=484,2(ab+bc+ca)=484, so ab+bc+ca=242.ab+bc+ca=242. Subtracting each original equation from this yields bc=90,bc=90, ca=80,ca=80, and ab=72.ab=72.

Multiplying, (abc)2=90⋅80⋅72=7202,(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2, and since abc>0,abc\gt0, we get abc=720.abc=720.

Thus, the correct answer is D.

Problema 18#18
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