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2023 AMC 12A Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2023 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

¿Cuál es el producto de todas las soluciones de la ecuación log⁡7x2023⋅log⁡289x2023=log⁡2023x2023? \begin{gathered} \log_{7x}2023\cdot\log_{289x}2023\\ {}=\log_{2023x}2023? \end{gathered}

What is the product of all the solutions to the equation log⁡7x2023⋅log⁡289x2023=log⁡2023x2023? \begin{gathered} \log_{7x}2023\cdot\log_{289x}2023\\ {}=\log_{2023x}2023? \end{gathered}

(log⁡20237⋅log⁡2023289)2(\log_{2023}7\cdot\log_{2023}289)^2

log⁡20237⋅log⁡2023289\log_{2023}7\cdot\log_{2023}289

11

log⁡72023⋅log⁡2892023\log_7 2023\cdot\log_{289}2023

(log⁡72023⋅log⁡2892023)2(\log_7 2023\cdot\log_{289}2023)^2

Respuesta: C
Conceptos:logaritmoFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 2040
Pista pequeña:

Convierte a base 20232023 y define t=log⁡2023x;t=\log_{2023}x; nota que 2023=7⋅172,2023=7\cdot 17^2, así que log⁡20237+log⁡2023289=1\log_{2023}7+\log_{2023}289=1

Convert to base 20232023 and set t=log⁡2023x;t=\log_{2023}x; note 2023=7⋅172,2023=7\cdot 17^2, so log⁡20237+log⁡2023289=1\log_{2023}7+\log_{2023}289=1

Pista grande:

La ecuación se convierte en una cuadrática en tt cuyas dos raíces suman 00

The equation becomes a quadratic in tt whose two roots sum to 00

Solución:

Sea a=log⁡20237a=\log_{2023}7 y b=log⁡2023289.b=\log_{2023}289. Como 2023=7⋅289,2023=7\cdot 289, tenemos a+b=1.a+b=1. Escribiendo t=log⁡2023x,t=\log_{2023}x, cada logaritmo se vuelve un recíproco, y la ecuación se convierte en (1+t)=(a+t)(b+t). (1+t)=(a+t)(b+t).

Al desarrollar y usar a+b=1,a+b=1, los términos lineales se cancelan, dejando t2+(ab−1)=0.t^2+(ab-1)=0. Sus dos raíces satisfacen t1+t2=0.t_1+t_2=0.

Las soluciones correspondientes se multiplican dando x1x2=2023t1⋅2023t2x_1x_2=2023^{t_1}\cdot 2023^{t_2} =2023 t1+t2=2023^{\,t_1+t_2} =20230=1.=2023^0=1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let a=log⁡20237a=\log_{2023}7 and b=log⁡2023289.b=\log_{2023}289. Since 2023=7⋅289,2023=7\cdot 289, we have a+b=1.a+b=1. Writing t=log⁡2023x,t=\log_{2023}x, each logarithm becomes a reciprocal, and the equation turns into (1+t)=(a+t)(b+t). (1+t)=(a+t)(b+t).

Expanding and using a+b=1,a+b=1, the linear terms cancel, leaving t2+(ab−1)=0.t^2+(ab-1)=0. Its two roots satisfy t1+t2=0.t_1+t_2=0.

The corresponding solutions multiply to x1x2=2023t1⋅2023t2x_1x_2=2023^{t_1}\cdot 2023^{t_2} =2023 t1+t2=2023^{\,t_1+t_2} =20230=1.=2023^0=1.

Thus, the correct answer is C.

Problema 18#18
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