Question

Los puntos $P$ y $Q$ se eligen de manera uniforme e independiente al azar sobre los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, del triángulo equilátero $\triangle ABC.$ ¿Cuál de los siguientes intervalos contiene la probabilidad de que el área de $\triangle APQ$ sea menor que la mitad del área de $\triangle ABC$ ?

Points $P$ and $Q$ are chosen uniformly and independently at random on sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, of equilateral triangle $\triangle ABC.$ Which of the following intervals contains the probability that the area of $\triangle APQ$ is less than half the area of $\triangle ABC?$

$\left[\tfrac38,\tfrac12\right]$

$\left(\tfrac12,\tfrac23\right]$

$\left(\tfrac23,\tfrac34\right]$

$\left(\tfrac34,\tfrac78\right]$

$\left(\tfrac78,1\right]$

Solución:

Con $x=\tfrac{AP}{AB}$ y $y=\tfrac{AQ}{AC}$ uniformes en $[0,1],$ la razón de áreas $\tfrac{[APQ]}{[ABC]}=xy.$ El evento complementario $xy\ge\tfrac12$ requiere $x\ge\tfrac12$ y $y\in[\tfrac{1}{2x},1],$ con probabilidad $\begin{aligned} &\int_{1/2}^{1}\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx \\ &=\frac12-\frac{\ln2}{2}\approx0.153. \end{aligned}$ Por lo tanto $P(xy\lt\tfrac12)\approx1-0.153=0.847,$ que está en $\left(\tfrac34,\tfrac78\right].$ Así que la respuesta correcta es D.

With $x=\tfrac{AP}{AB}$ and $y=\tfrac{AQ}{AC}$ uniform on $[0,1],$ the area ratio $\tfrac{[APQ]}{[ABC]}=xy.$ The complementary event $xy\ge\tfrac12$ requires $x\ge\tfrac12$ and $y\in[\tfrac{1}{2x},1],$ with probability $\begin{aligned} &\int_{1/2}^{1}\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx \\ &=\frac12-\frac{\ln2}{2}\approx0.153. \end{aligned}$ Therefore $P(xy\lt\tfrac12)\approx1-0.153=0.847,$ which lies in $\left(\tfrac34,\tfrac78\right].$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años