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2024 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2024 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Los puntos PP y QQ se eligen de manera uniforme e independiente al azar sobre los lados AB‾\overline{AB} y AC‾,\overline{AC}, respectivamente, del triángulo equilátero △ABC.\triangle ABC. ¿Cuál de los siguientes intervalos contiene la probabilidad de que el área de △APQ\triangle APQ sea menor que la mitad del área de △ABC\triangle ABC?
Points PP and QQ are chosen uniformly and independently at random on sides AB‾\overline{AB} and AC‾,\overline{AC}, respectively, of equilateral triangle △ABC.\triangle ABC. Which of the following intervals contains the probability that the area of △APQ\triangle APQ is less than half the area of △ABC?\triangle ABC?
[38,12]\left[\tfrac38,\tfrac12\right]
(12,23]\left(\tfrac12,\tfrac23\right]
(23,34]\left(\tfrac23,\tfrac34\right]
(34,78]\left(\tfrac34,\tfrac78\right]
(78,1]\left(\tfrac78,1\right]
Respuesta: D
Conceptos:probabilidad geométricarazón de áreas
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:
Sean x=APABx=\dfrac{AP}{AB} y y=AQACy=\dfrac{AQ}{AC} uniformes en [0,1];[0,1]; la razón de áreas es xyxy
Let x=APABx=\dfrac{AP}{AB} and y=AQACy=\dfrac{AQ}{AC} be uniform on [0,1];[0,1]; the area ratio is xyxy
Pista grande:
Calcula P(xy≥12)=∫121(1−12x)dxP(xy\ge\tfrac12)=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\tfrac{1}{2x}\right)dx y réstalo de 11
Compute P(xy≥12)=∫121(1−12x)dxP(xy\ge\tfrac12)=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\tfrac{1}{2x}\right)dx and subtract from 11
Solución:
Con x=APABx=\tfrac{AP}{AB} y y=AQACy=\tfrac{AQ}{AC} uniformes en [0,1],[0,1], la razón de áreas es [APQ][ABC]=xy.\tfrac{[APQ]}{[ABC]}=xy. El evento complementario xy≥12xy\ge\tfrac12 exige x≥12x\ge\tfrac12 y y∈[12x,1],y\in[\tfrac{1}{2x},1], y tiene probabilidad ∫121(1−12x)dx=12−ln⁡22≈0.153. \begin{aligned} &\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx \\ &=\frac12-\frac{\ln2}{2}\approx0.153. \end{aligned} Por tanto, P(xy<12)≈1−0.153=0.847,P(xy\lt\tfrac12)\approx1-0.153=0.847, que pertenece a (34,78].\left(\tfrac34,\tfrac78\right]. Así, D es la respuesta correcta.
With x=APABx=\tfrac{AP}{AB} and y=AQACy=\tfrac{AQ}{AC} uniform on [0,1],[0,1], the area ratio [APQ][ABC]=xy.\tfrac{[APQ]}{[ABC]}=xy. The complementary event xy≥12xy\ge\tfrac12 requires x≥12x\ge\tfrac12 and y∈[12x,1],y\in[\tfrac{1}{2x},1], with probability ∫121(1−12x)dx=12−ln⁡22≈0.153. \begin{aligned} &\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx \\ &=\frac12-\frac{\ln2}{2}\approx0.153. \end{aligned} Therefore P(xy<12)≈1−0.153=0.847,P(xy\lt\tfrac12)\approx1-0.153=0.847, which lies in (34,78].\left(\tfrac34,\tfrac78\right]. Thus, the correct answer is D.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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