Question

Una rana salta a lo largo de la recta numérica según las siguientes reglas.

• Empieza en $0.$

• Si está en $0,$ entonces se mueve a $1$ con probabilidad $\dfrac{1}{2}$ y desaparece con probabilidad $\dfrac{1}{2}.$

• Para $n = 1, 2$ o $3,$ si está en $n,$ entonces se mueve a $n+1$ con probabilidad $\dfrac{1}{4},$ se mueve a $n-1$ con probabilidad $\dfrac{1}{4},$ y desaparece con probabilidad $\dfrac{1}{2}.$

¿Cuál es la probabilidad de que la rana llegue a $4$ ?

A frog hops along the number line according to the following rules.

• It starts at $0.$

• If it is at $0,$ then it moves to $1$ with probability $\dfrac{1}{2}$ and it disappears with probability $\dfrac{1}{2}.$

• For $n = 1, 2,$ or $3,$ if it is at $n,$ then it moves to $n+1$ with probability $\dfrac{1}{4},$ it moves to $n-1$ with probability $\dfrac{1}{4},$ and it disappears with probability $\dfrac{1}{2}.$

What is the probability that the frog reaches $4?$

$\dfrac{1}{101}$

$\dfrac{1}{100}$

$\dfrac{1}{99}$

$\dfrac{1}{98}$

$\dfrac{1}{97}$

Solución:

Sea $f(n)$ la probabilidad de llegar a $4$ desde $n.$ Entonces $f(0) = \tfrac{1}{2} f(1),$ y para $n = 1, 2, 3,$ $f(n) = \tfrac{1}{4} f(n+1) + \tfrac{1}{4} f(n-1),$ con $f(4) = 1.$ Resolviendo hacia arriba se obtiene $f(2) = \tfrac{7}{2} f(1)$ y $f(3) = 13 f(1);$ luego $4 \cdot 13 f(1) = 1 + \tfrac{7}{2} f(1)$ da $f(1) = \tfrac{2}{97},$ así que $f(0) = \tfrac{1}{97}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $f(n)$ be the probability of reaching $4$ from $n.$ Then $f(0) = \tfrac{1}{2} f(1),$ and for $n = 1, 2, 3,$ $f(n) = \tfrac{1}{4} f(n+1) + \tfrac{1}{4} f(n-1),$ with $f(4) = 1.$ Solving upward gives $f(2) = \tfrac{7}{2} f(1)$ and $f(3) = 13 f(1);$ then $4 \cdot 13 f(1) = 1 + \tfrac{7}{2} f(1)$ yields $f(1) = \tfrac{2}{97},$ so $f(0) = \tfrac{1}{97}.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años