Question

Un rayo de luz parte del punto $A$ y viaja en un plano, reflejándose $n$ veces entre las rectas $AD$ y $CD,$ antes de incidir perpendicularmente en un punto $B$ (que puede estar en $AD$ o $CD$ ) y volver sobre su trayectoria hasta $A.$ (En cada punto de reflexión, el rayo forma dos ángulos iguales, como se indica en la figura adjunta. La figura muestra la trayectoria para $n=3.$ ) Si $\angle CDA=8^\circ,$ ¿cuál es el mayor valor que puede tener $n$ ?

A ray of light originates from point $A$ and travels in a plane, being reflected $n$ times between lines $AD$ and $CD,$ before striking a point $B$ (which may be on $AD$ or $CD$ ) perpendicularly and retracing its path to $A.$ (At each point of reflection the light makes two equal angles as indicated in the adjoining figure. The figure shows the light path for $n=3.$ ) If $\angle CDA=8^\circ,$ what is the largest value $n$ can have?

$6$

$10$

$38$

$98$

No existe un valor máximo.

There is no largest value.

Respuesta: B

Conceptos:reflexión (geometría)persecución de ángulos desigualdad

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sigue el ángulo agudo entre el rayo y cada recta reflectora sucesiva

Track the acute angle between the ray and each successive reflecting line

Pista grande:

Cada reflexión aumenta ese ángulo en el ángulo de la cuña, $8^\circ$

Each reflection advances that angle by the wedge angle $8^\circ$

Solución:

Sea $\theta\gt0$ el ángulo agudo inicial entre el rayo y $AD.$ Las relaciones sucesivas entre ángulos exteriores aumentan el ángulo agudo correspondiente en $8^\circ$ con cada reflexión. En la incidencia perpendicular final, $90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.$ Así, $\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,$ por lo que $n\lt\frac{82}{8}=10.25.$ El mayor entero posible es $10,$ alcanzado cuando $\theta=2^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\theta\gt0$ be the initial acute angle between the ray and $AD.$ Successive exterior-angle relations increase the corresponding acute angle by $8^\circ$ at each reflection. At the final perpendicular strike, $90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.$ Thus $\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,$ so $n\lt\frac{82}{8}=10.25.$ The greatest integer possible is $10,$ attained when $\theta=2^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

1981 AMC 12 Problema 20

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años