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2001 AMC 12 Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2001 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Los puntos A=(3,9),A = (3, 9), B=(1,1),B = (1, 1), C=(5,3),C = (5, 3), y D=(a,b)D = (a, b) están en el primer cuadrante y son los vértices del cuadrilátero ABCD.ABCD. El cuadrilátero formado al unir los puntos medios de AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, CD‾,\overline{CD}, y DA‾\overline{DA} es un cuadrado. ¿Cuál es la suma de las coordenadas del punto DD?
Points A=(3,9),A = (3, 9), B=(1,1),B = (1, 1), C=(5,3),C = (5, 3), and D=(a,b)D = (a, b) lie in the first quadrant and are the vertices of quadrilateral ABCD.ABCD. The quadrilateral formed by joining the midpoints of AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, CD‾,\overline{CD}, and DA‾\overline{DA} is a square. What is the sum of the coordinates of point D?D?
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Respuesta: C
Conceptos:geometría analíticapunto mediovector
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Sean MM y NN los puntos medios de AB‾\overline{AB} y BC‾;\overline{BC}; halla MM y NN primero
Let MM and NN be the midpoints of AB‾\overline{AB} and BC‾;\overline{BC}; find MM and NN first
Pista grande:
El siguiente punto medio QQ satisface MQ→=NM→\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NM} rotado 90∘90^\circ (misma longitud, perpendicular)
The next midpoint QQ satisfies MQ→=NM→\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NM} rotated 90∘90^\circ (same length, perpendicular)
Solución:
Los puntos medios son M=(2,5)M = (2, 5) de AB‾\overline{AB} y N=(3,2)N = (3, 2) de BC‾.\overline{BC}.
Para que el cuadrilátero de puntos medios sea un cuadrado, los lados consecutivos son perpendiculares e iguales. Con NM→=⟨−1,3⟩,\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle, el lado MQ→\overrightarrow{MQ} hacia el punto medio QQ de DA‾\overline{DA} debe ser ⟨3,1⟩,\langle 3, 1 \rangle, así que Q=(5,6).Q = (5, 6).
Como QQ es el punto medio de DA‾\overline{DA} y A=(3,9),A = (3, 9), obtenemos D=2Q−A=(7,3).D = 2Q - A = (7, 3). La suma de sus coordenadas es 7+3=10.7 + 3 = 10.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The midpoints are M=(2,5)M = (2, 5) of AB‾\overline{AB} and N=(3,2)N = (3, 2) of BC‾.\overline{BC}.
For the midpoint quadrilateral to be a square, consecutive sides are perpendicular and equal. With NM→=⟨−1,3⟩,\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle, the side MQ→\overrightarrow{MQ} to the midpoint QQ of DA‾\overline{DA} must be ⟨3,1⟩,\langle 3, 1 \rangle, so Q=(5,6).Q = (5, 6).
Since QQ is the midpoint of DA‾\overline{DA} and A=(3,9),A = (3, 9), we get D=2Q−A=(7,3).D = 2Q - A = (7, 3). The sum of its coordinates is 7+3=10.7 + 3 = 10.
Thus, the correct answer is C.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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