Question

Los puntos $A = (3, 9),$ $B = (1, 1),$ $C = (5, 3),$ y $D = (a, b)$ están en el primer cuadrante y son los vértices del cuadrilátero $ABCD.$ El cuadrilátero formado al unir los puntos medios de $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{DA}$ es un cuadrado. ¿Cuál es la suma de las coordenadas del punto $D$ ?

Points $A = (3, 9),$ $B = (1, 1),$ $C = (5, 3),$ and $D = (a, b)$ lie in the first quadrant and are the vertices of quadrilateral $ABCD.$ The quadrilateral formed by joining the midpoints of $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA}$ is a square. What is the sum of the coordinates of point $D?$

$7$

$9$

$10$

$12$

$16$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica punto medio vector

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{BC};$ halla $M$ y $N$ primero

Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AB}$ and $\overline{BC};$ find $M$ and $N$ first

Pista grande:

El siguiente punto medio $Q$ satisface $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NM}$ rotado $90^\circ$ (misma longitud, perpendicular)

The next midpoint $Q$ satisfies $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NM}$ rotated $90^\circ$ (same length, perpendicular)

Solución:

Los puntos medios son $M = (2, 5)$ de $\overline{AB}$ y $N = (3, 2)$ de $\overline{BC}.$

Para que el cuadrilátero de puntos medios sea un cuadrado, los lados consecutivos son perpendiculares e iguales. Con $\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle,$ el lado $\overrightarrow{MQ}$ hacia el punto medio $Q$ de $\overline{DA}$ debe ser $\langle 3, 1 \rangle,$ así que $Q = (5, 6).$

Como $Q$ es el punto medio de $\overline{DA}$ y $A = (3, 9),$ obtenemos $D = 2Q - A = (7, 3).$ La suma de sus coordenadas es $7 + 3 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The midpoints are $M = (2, 5)$ of $\overline{AB}$ and $N = (3, 2)$ of $\overline{BC}.$

For the midpoint quadrilateral to be a square, consecutive sides are perpendicular and equal. With $\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle,$ the side $\overrightarrow{MQ}$ to the midpoint $Q$ of $\overline{DA}$ must be $\langle 3, 1 \rangle,$ so $Q = (5, 6).$

Since $Q$ is the midpoint of $\overline{DA}$ and $A = (3, 9),$ we get $D = 2Q - A = (7, 3).$ The sum of its coordinates is $7 + 3 = 10.$

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años