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2000 AMC 12 Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2000 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2000 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Si x,x, yy y zz son números positivos que satisfacen x+1y=4,x + \frac{1}{y} = 4, y+1z=1,y + \frac{1}{z} = 1, y z+1x=73,z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}, ¿cuánto vale xyzxyz?
If x,x, y,y, and zz are positive numbers satisfying x+1y=4,x + \frac{1}{y} = 4, y+1z=1,y + \frac{1}{z} = 1, and z+1x=73,z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}, then what is xyz?xyz?
23\dfrac{2}{3}
11
43\dfrac{4}{3}
22
73\dfrac{7}{3}
Respuesta: B
Conceptos:sistema de ecuacionesmanipulación algebraicasimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 1970
Pista pequeña:
Suma las tres ecuaciones y, por separado, multiplica las tres.
Add the three equations, and separately multiply all three together
Pista grande:
Al desarrollar el producto se obtiene xyz+1xyzxyz + \dfrac{1}{xyz} más la suma que ya calculaste.
Expanding the product produces xyz+1xyzxyz + \dfrac{1}{xyz} plus the sum you already computed
Solución:
Al sumar las tres ecuaciones se obtiene (x+1y)+(y+1z)+(z+1x)=4+1+73=223. \begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}. \end{gathered}
Al multiplicarlas se obtiene 4⋅1⋅73=283. 4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}.
Al desarrollar el producto, (x+1y)⋅(y+1z)⋅(z+1x)=xyz+(x+y+z+1x+1y+1z)+1xyz. \begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}. \end{aligned} El grupo central es la suma 223,\tfrac{22}{3}, así que xyz+1xyz=283−223=2.xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2.
Por lo tanto (xyz−1)2=0,(xyz - 1)^2 = 0, así que xyz=1xyz = 1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Adding the three equations gives (x+1y)+(y+1z)+(z+1x)=4+1+73=223. \begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}. \end{gathered}
Multiplying them gives 4⋅1⋅73=283. 4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}.
Expanding the product, (x+1y)⋅(y+1z)⋅(z+1x)=xyz+(x+y+z+1x+1y+1z)+1xyz. \begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}. \end{aligned} The middle group is the sum 223,\tfrac{22}{3}, so xyz+1xyz=283−223=2.xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2.
Hence (xyz−1)2=0,(xyz - 1)^2 = 0, so xyz=1.xyz = 1.
Thus, the correct answer is B.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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