Question

Un cubo se construye con $4$ cubos unitarios blancos y $4$ cubos unitarios azules. ¿De cuántas maneras diferentes se puede construir el cubo $2 \times 2 \times 2$ usando estos cubos más pequeños? (Dos construcciones se consideran iguales si una se puede girar para coincidir con la otra.)

A cube is constructed from $4$ white unit cubes and $4$ blue unit cubes. How many different ways are there to construct the $2 \times 2 \times 2$ cube using these smaller cubes? (Two constructions are considered the same if one can be rotated to match the other.)

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Por el lema de Burnside, el conteo es el número promedio de coloraciones con $4$ azules que quedan fijas por cada una de las $24$ rotaciones que actúan sobre los $8$ cubitos.

La identidad deja fijas $\binom{8}{4} = 70.$ Los $6$ cuartos de vuelta de cara dejan fijas $2$ cada uno $(12).$ Las $3$ medias vueltas de cara dejan fijas $6$ cada una $(18).$ Las $8$ rotaciones de vértice dejan fijas $4$ cada una $(32).$ Las $6$ medias vueltas de arista dejan fijas $6$ cada una $(36).$

El total es $70 + 12 + 18 + 32 + 36 = 168,$ y $\dfrac{168}{24} = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Burnside's lemma, the count is the average number of $4$ -blue colorings fixed by each of the $24$ rotations acting on the $8$ cubies.

The identity fixes $\binom{8}{4} = 70.$ The $6$ face quarter-turns fix $2$ each $(12).$ The $3$ face half-turns fix $6$ each $(18).$ The $8$ vertex rotations fix $4$ each $(32).$ The $6$ edge half-turns fix $6$ each $(36).$

The total is $70 + 12 + 18 + 32 + 36 = 168,$ and $\dfrac{168}{24} = 7.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Fall Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años