Question

Sea $T$ el triángulo en el plano coordenado con vértices $(0, 0),$ $(4, 0),$ y $(0, 3).$ Considera las siguientes cinco isometrías (transformaciones rígidas) del plano: rotaciones de $90^\circ,$ $180^\circ,$ y $270^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen, la reflexión respecto al eje $x$ , y la reflexión respecto al eje $y$ . ¿Cuántas de las $125$ sucesiones de tres de estas transformaciones (no necesariamente distintas) devolverán $T$ a su posición original? (Por ejemplo, una rotación de $180^\circ$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de una reflexión respecto al eje $y$ , devolverá $T$ a su posición original, pero una rotación de $90^\circ$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de otra reflexión respecto al eje $x$ , no devolverá $T$ a su posición original.)

Let $T$ be the triangle in the coordinate plane with vertices $(0, 0),$ $(4, 0),$ and $(0, 3).$ Consider the following five isometries (rigid transformations) of the plane: rotations of $90^\circ,$ $180^\circ,$ and $270^\circ$ counterclockwise around the origin, reflection across the $x$ -axis, and reflection across the $y$ -axis. How many of the $125$ sequences of three of these transformations (not necessarily distinct) will return $T$ to its original position? (For example, a $180^\circ$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by a reflection across the $y$ -axis will return $T$ to its original position, but a $90^\circ$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by another reflection across the $x$ -axis will not return $T$ to its original position.)

$12$

$15$

$17$

$20$

$25$

Solución:

Como $T$ es un triángulo rectángulo escaleno, la única isometría que lleva $T$ a sí mismo es la identidad, así que una sucesión funciona exactamente cuando las tres transformaciones componen la identidad.

Las cinco aplicaciones son todo el grupo de simetría del cuadrado salvo la identidad y las dos reflexiones diagonales. En una terna ordenada la tercera aplicación debe ser la inversa de la composición de las dos primeras, y se permite precisamente cuando el producto de las dos primeras es de nuevo una de las cinco.

De los $25$ pares ordenados, $5$ componen la identidad y $8$ componen una reflexión diagonal. Los $25 - 13 = 12$ pares restantes dan sucesiones válidas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Because $T$ is a scalene right triangle, the only isometry carrying $T$ to itself is the identity, so a sequence works exactly when the three transformations compose to the identity.

The five maps are all of the square's symmetry group except the identity and the two diagonal reflections. In an ordered triple the third map must be the inverse of the first two composed, and it is allowed precisely when the product of the first two is again one of the five.

Of the $25$ ordered pairs, $5$ compose to the identity and $8$ compose to a diagonal reflection. The remaining $25 - 13 = 12$ pairs give valid sequences.

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años