Question

Sea $T$ el triángulo en el plano coordenado con vértices $(0, 0),$ $(4, 0),$ y $(0, 3).$ Considera las siguientes cinco isometrías (transformaciones rígidas) del plano: rotaciones de $90^\circ,$ $180^\circ,$ y $270^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen, la reflexión respecto al eje $x$ , y la reflexión respecto al eje $y$ . ¿Cuántas de las $125$ sucesiones de tres de estas transformaciones (no necesariamente distintas) devolverán $T$ a su posición original? (Por ejemplo, una rotación de $180^\circ$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de una reflexión respecto al eje $y$ , devolverá $T$ a su posición original, pero una rotación de $90^\circ$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de otra reflexión respecto al eje $x$ , no devolverá $T$ a su posición original.)

Let $T$ be the triangle in the coordinate plane with vertices $(0, 0),$ $(4, 0),$ and $(0, 3).$ Consider the following five isometries (rigid transformations) of the plane: rotations of $90^\circ,$ $180^\circ,$ and $270^\circ$ counterclockwise around the origin, reflection across the $x$ -axis, and reflection across the $y$ -axis. How many of the $125$ sequences of three of these transformations (not necessarily distinct) will return $T$ to its original position? (For example, a $180^\circ$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by a reflection across the $y$ -axis will return $T$ to its original position, but a $90^\circ$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by another reflection across the $x$ -axis will not return $T$ to its original position.)

$12$

$15$

$17$

$20$

$25$

Respuesta: A

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Como $T$ es escaleno, la única isometría que fija $T$ es la identidad, así que las tres deben componer la identidad

Since $T$ is scalene, the only isometry fixing $T$ is the identity, so the three must compose to the identity

Pista grande:

La tercera transformación queda determinada por las dos primeras; se permite exactamente cuando el producto de las dos primeras es de nuevo una de las cinco aplicaciones

The third transformation is forced by the first two; it is allowed exactly when the product of the first two is again one of the five maps

Solución:

Como $T$ es un triángulo rectángulo escaleno, la única isometría que lleva $T$ a sí mismo es la identidad, así que una sucesión funciona exactamente cuando las tres transformaciones se componen en la identidad.

Sea $r$ la rotación de $90^\circ$ y $s$ la reflexión respecto del eje $x$ . Las cinco aplicaciones permitidas son $r,r^2,r^3,s,r^2s;$ las aplicaciones no idénticas ausentes son las reflexiones diagonales $rs,r^3s.$ En una terna ordenada, la tercera aplicación queda determinada por las dos primeras y está permitida exactamente cuando su producto es una de las cinco.

Exactamente $5$ pares ordenados tienen producto identidad: cada primera aplicación se empareja con su inversa. Una reflexión diagonal requiere una rotación y una reflexión axial; $r$ o $r^3$ puede emparejarse a cualquiera de los dos lados con $s$ o $r^2s,$ lo que da $2\cdot2\cdot2=8$ pares. Los $25-5-8=12$ pares restantes dan sucesiones válidas.

Así, A es la respuesta correcta.

Because $T$ is a scalene right triangle, the only isometry carrying $T$ to itself is the identity, so a sequence works exactly when the three transformations compose to the identity.

Let $r$ be the $90^\circ$ rotation and $s$ reflection across the $x$ -axis. The five allowed maps are $r,r^2,r^3,s,r^2s;$ the missing nonidentity maps are the diagonal reflections $rs,r^3s.$ In an ordered triple, the third map is forced by the first two and is allowed precisely when their product is one of the five.

Exactly $5$ ordered pairs have product identity: each first map is paired with its inverse. A diagonal reflection requires one rotation and one axis reflection; $r$ or $r^3$ may be paired on either side with $s$ or $r^2s,$ giving $2\cdot2\cdot2=8$ pairs. The remaining $25-5-8=12$ ordered pairs give valid sequences.

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años