Question

Cuatro enteros positivos $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ tienen un producto de $8!$ y satisfacen

$ab + a + b = 524,$ $bc + b + c = 146,$ $cd + c + d = 104.$

¿Cuánto vale $a - d$ ?

Four positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ have a product of $8!$ and satisfy

$ab + a + b = 524,$ $bc + b + c = 146,$ $cd + c + d = 104.$

What is $a - d?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Solución:

Sumar $1$ a cada ecuación factoriza los lados izquierdos: $\begin{aligned} (a + 1)(b + 1) &= 525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7, \\ (b + 1)(c + 1) &= 147 = 3 \cdot 7^2, \\ (c + 1)(d + 1) &= 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7. \end{aligned}$

Como $525$ tiene un factor de $25$ mientras que $147$ no es divisible entre $5,$ el factor $a + 1$ debe llevar el $25.$ Entre los divisores de $525,$ solo $a + 1 = 25$ hace que $a = 24$ divida a $8! = 40320.$

Entonces $b + 1 = 21,$ $c + 1 = 7,$ y $d + 1 = 15,$ dando $b = 20,$ $c = 6,$ $d = 14.$ (En efecto, $24 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 14 = 40320 = 8!.$ )

Así que $a - d = 24 - 14 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding $1$ to each equation factors the left sides: $\begin{aligned} (a + 1)(b + 1) &= 525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7, \\ (b + 1)(c + 1) &= 147 = 3 \cdot 7^2, \\ (c + 1)(d + 1) &= 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7. \end{aligned}$

Since $525$ has a factor of $25$ while $147$ is not divisible by $5,$ the factor $a + 1$ must carry the $25.$ Among divisors of $525,$ only $a + 1 = 25$ makes $a = 24$ divide $8! = 40320.$

Then $b + 1 = 21,$ $c + 1 = 7,$ and $d + 1 = 15,$ giving $b = 20,$ $c = 6,$ $d = 14.$ (Indeed $24 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 14 = 40320 = 8!.$ )

So $a - d = 24 - 14 = 10.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años