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2008 AMC 12B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2008 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Se van a construir dos círculos de radio 11 de la siguiente manera. El centro del círculo AA se elige de manera uniforme y al azar del segmento que une (0,0)(0, 0) con (2,0).(2, 0). El centro del círculo BB se elige de manera uniforme y al azar, e independientemente de la primera elección, del segmento que une (0,1)(0, 1) con (2,1).(2, 1). ¿Cuál es la probabilidad de que los círculos AA y BB se intersequen?

Two circles of radius 11 are to be constructed as follows. The center of circle AA is chosen uniformly and at random from the line segment joining (0,0)(0, 0) to (2,0).(2, 0). The center of circle BB is chosen uniformly and at random, and independently of the first choice, from the line segment joining (0,1)(0, 1) to (2,1).(2, 1). What is the probability that circles AA and BB intersect?

2+24\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}

33+28\dfrac{3\sqrt{3} + 2}{8}

22−12\dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2}

2+34\dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}

43−34\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{4}

Respuesta: E
Conceptos:probabilidad geométricafórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 2040
Pista pequeña:

Con centros (a,0)(a, 0) y (b,1),(b, 1), los círculos se intersecan si y solo si (a−b)2+1≤2,\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2, es decir ∣a−b∣≤3|a - b| \le \sqrt{3}.

With centers (a,0)(a, 0) and (b,1),(b, 1), the circles intersect iff (a−b)2+1≤2,\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2, i.e. ∣a−b∣≤3|a - b| \le \sqrt{3}

Pista grande:

En el cuadrado [0,2]2[0, 2]^2 de área 4,4, halla el área con ∣a−b∣≤3|a - b| \le \sqrt{3} quitando los dos triángulos de las esquinas donde ∣a−b∣>3|a - b| \gt \sqrt{3}.

In the square [0,2]2[0, 2]^2 of area 4,4, find the area with ∣a−b∣≤3|a - b| \le \sqrt{3} by removing the two corner triangles where ∣a−b∣>3|a - b| \gt \sqrt{3}

Solución:

Sean los centros (a,0)(a, 0) y (b,1)(b, 1) con a,b∈[0,2].a, b \in [0, 2]. Los círculos (de radio 11 cada uno) se intersecan si y solo si la distancia entre centros es a lo sumo 2:2: (a−b)2+1≤2  ⟺  ∣a−b∣≤3. \begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}

Los pares (a,b)(a, b) llenan el cuadrado [0,2]2[0, 2]^2 de área 4.4. La región de fallo ∣a−b∣>3|a - b| \gt \sqrt3 son dos triángulos rectángulos, cada uno con catetos 2−3,2 - \sqrt3, de área total (2−3)2=7−43.(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.

Así que el área favorable es 4−(7−43)=43−3,4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3, y la probabilidad es 43−34. \frac{4\sqrt3 - 3}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the centers be (a,0)(a, 0) and (b,1)(b, 1) with a,b∈[0,2].a, b \in [0, 2]. The circles (radius 11 each) intersect iff the distance between centers is at most 2:2: (a−b)2+1≤2  ⟺  ∣a−b∣≤3. \begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}

The pairs (a,b)(a, b) fill the square [0,2]2[0, 2]^2 of area 4.4. The failing region ∣a−b∣>3|a - b| \gt \sqrt3 is two right triangles, each with legs 2−3,2 - \sqrt3, of total area (2−3)2=7−43.(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.

So the favorable area is 4−(7−43)=43−3,4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3, and the probability is 43−34. \frac{4\sqrt3 - 3}{4}.

Thus, the correct answer is E.

Problema 20#20
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Problema 22#22

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