Question

Se van a construir dos círculos de radio $1$ de la siguiente manera. El centro del círculo $A$ se elige de manera uniforme y al azar del segmento que une $(0, 0)$ con $(2, 0).$ El centro del círculo $B$ se elige de manera uniforme y al azar, e independientemente de la primera elección, del segmento que une $(0, 1)$ con $(2, 1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que los círculos $A$ y $B$ se intersequen?

Two circles of radius $1$ are to be constructed as follows. The center of circle $A$ is chosen uniformly and at random from the line segment joining $(0, 0)$ to $(2, 0).$ The center of circle $B$ is chosen uniformly and at random, and independently of the first choice, from the line segment joining $(0, 1)$ to $(2, 1).$ What is the probability that circles $A$ and $B$ intersect?

$\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{3\sqrt{3} + 2}{8}$

$\dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2}$

$\dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{4}$

Solución:

Sean los centros $(a, 0)$ y $(b, 1)$ con $a, b \in [0, 2].$ Los círculos (de radio $1$ cada uno) se intersecan si y solo si la distancia entre centros es a lo sumo $2:$ $\begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}$

Los pares $(a, b)$ llenan el cuadrado $[0, 2]^2$ de área $4.$ La región de fallo $|a - b| \gt \sqrt3$ son dos triángulos rectángulos, cada uno con catetos $2 - \sqrt3,$ de área total $(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.$

Así que el área favorable es $4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3,$ y la probabilidad es $\frac{4\sqrt3 - 3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the centers be $(a, 0)$ and $(b, 1)$ with $a, b \in [0, 2].$ The circles (radius $1$ each) intersect iff the distance between centers is at most $2:$ $\begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}$

The pairs $(a, b)$ fill the square $[0, 2]^2$ of area $4.$ The failing region $|a - b| \gt \sqrt3$ is two right triangles, each with legs $2 - \sqrt3,$ of total area $(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.$

So the favorable area is $4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3,$ and the probability is $\frac{4\sqrt3 - 3}{4}.$

Thus, the correct answer is E.

2008 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años