Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2025 AMC 12B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2025 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Dos triángulos no congruentes tienen la misma área. Cada triángulo tiene lados de longitud 88 y 9,9, y el tercer lado de cada triángulo tiene longitud entera. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los terceros lados?

Two non-congruent triangles have the same area. Each triangle has sides of length 88 and 9,9, and the third side of each triangle has integer length. What is the sum of the lengths of the third sides?

2020

2222

2424

2626

2828

Respuesta: C
Conceptos:ley de los cosenosárea del triángulodesigualdad triangular
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:

Con lados 88 y 99 y ángulo incluido θ,\theta, el área es 36sin⁡θ,36\sin\theta, así que áreas iguales provienen de θ\theta y 180∘−θ180^\circ - \theta.

With sides 88 and 99 and included angle θ,\theta, the area is 36sin⁡θ,36\sin\theta, so equal areas come from θ\theta and 180∘−θ180^\circ - \theta

Pista grande:

Por la ley de cosenos, los terceros lados satisfacen t2=145∓144cos⁡θ,t^2 = 145 \mp 144\cos\theta, así que t12+t22=290t_1^2 + t_2^2 = 290

By the law of cosines the third sides satisfy t2=145∓144cos⁡θ,t^2 = 145 \mp 144\cos\theta, so t12+t22=290t_1^2 + t_2^2 = 290

Solución:

El área con ángulo incluido θ\theta es 36sin⁡θ,36\sin\theta, así que dos triángulos de igual área usan los ángulos θ\theta y 180∘−θ,180^\circ - \theta, cuyos cosenos son ±cos⁡θ.\pm\cos\theta. Por la ley de los cosenos, los terceros lados satisfacen t2=145∓144cos⁡θ,t^2 = 145 \mp 144\cos\theta, y por ello t12+t22=290.t_1^2 + t_2^2 = 290. Como 290≡2(mod8),290\equiv2\pmod8, ambos lados enteros deben ser impares. Al comprobar los cuadrados impares en el intervalo dado por la desigualdad triangular 1<t<171\lt t\lt17, solo queda 112+132=121+169=290.11^2+13^2=121+169=290. Por lo tanto, la suma es 24.24.

Así, la respuesta correcta es C.

The area with included angle θ\theta is 36sin⁡θ,36\sin\theta, so two triangles of equal area use angles θ\theta and 180∘−θ,180^\circ - \theta, with cosines ±cos⁡θ.\pm\cos\theta. By the law of cosines the third sides satisfy t2=145∓144cos⁡θ,t^2 = 145 \mp 144\cos\theta, hence t12+t22=290.t_1^2 + t_2^2 = 290. Since 290≡2(mod8),290\equiv2\pmod8, both integer sides must be odd. Checking the odd squares in the triangle-inequality range 1<t<171\lt t\lt17 leaves only 112+132=121+169=290.11^2+13^2=121+169=290. Therefore the sum is 24.24.

Thus, the correct answer is C.

Problema 20#20
Examen completo
Problema 22#22

El Problema 21 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A