Question

Dos triángulos no congruentes tienen la misma área. Cada triángulo tiene lados de longitud $8$ y $9$ , y el tercer lado de cada triángulo tiene longitud entera. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los terceros lados?

Two non-congruent triangles have the same area. Each triangle has sides of length $8$ and $9,$ and the third side of each triangle has integer length. What is the sum of the lengths of the third sides?

$20$

$22$

$24$

$26$

$28$

Solución:

El área con ángulo incluido $\theta$ es $36\sin\theta$ , así que dos triángulos de igual área usan los ángulos $\theta$ y $180^\circ - \theta$ , con cosenos $\pm\cos\theta$ . Por la ley de cosenos, los terceros lados satisfacen $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta$ , de donde $t_1^2 + t_2^2 = 290$ . Los únicos valores enteros en el rango válido $(1, 17)$ son $11$ y $13$ , pues $121 + 169 = 290$ , así que la suma es $24$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The area with included angle $\theta$ is $36\sin\theta,$ so two triangles of equal area use angles $\theta$ and $180^\circ - \theta,$ with cosines $\pm\cos\theta.$ By the law of cosines the third sides satisfy $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ hence $t_1^2 + t_2^2 = 290.$ The only integer values in the valid range $(1, 17)$ are $11$ and $13$ ( $121 + 169 = 290$ ), so the sum is $24.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años