Question

Sea $S$ la suma de todos los números reales positivos $x$ para los cuales $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Let $S$ be the sum of all positive real numbers $x$ for which $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

Which of the following statements is true?

$S\lt\sqrt2$

$S=\sqrt2$

$\sqrt2\lt S\lt 2$

$2\le S\lt 6$

$S\ge 6$

Solución:

Tomando $\log_2,$ la ecuación se convierte en $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Sustituyendo $x=\sqrt2$ da $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ lo que se cumple, así que $x=\sqrt2$ es una solución.

Sea $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Entonces $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ y $f(4)\gt 0,$ así que hay una segunda raíz $x_0$ entre $2$ y $4.$

Como $f$ no tiene otros cambios de signo, hay exactamente dos soluciones, y $S=\sqrt2+x_0\approx 1.41+3.1\approx 4.5,$ que está en $[2,6).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Taking $\log_2,$ the equation becomes $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Substituting $x=\sqrt2$ gives $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ which holds, so $x=\sqrt2$ is a solution.

Let $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Then $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ and $f(4)\gt 0,$ so there is a second root $x_0$ between $2$ and $4.$

Since $f$ has no other sign changes, there are exactly two solutions, and $S=\sqrt2+x_0\approx 1.41+3.1\approx 4.5,$ which lies in $[2,6).$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años