Question

Sea $S$ la suma de todos los números reales positivos $x$ para los cuales $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Let $S$ be the sum of all positive real numbers $x$ for which $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

Which of the following statements is true?

$S\lt\sqrt2$

$S=\sqrt2$

$\sqrt2\lt S\lt 2$

$2\le S\lt 6$

$S\ge 6$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Toma $\log_2$ en ambos lados para obtener $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$

Take $\log_2$ of both sides to get $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$

Pista grande:

$x=\sqrt2$ es una solución; analiza el signo de $2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ para localizar la otra

$x=\sqrt2$ is one solution; analyze the sign of $2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ to locate the other

Solución:

Tomando $\log_2,$ la ecuación se convierte en $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Sustituyendo $x=\sqrt2$ da $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ lo que se cumple, así que $x=\sqrt2$ es una solución.

Sea $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Entonces $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ y $f(4)\gt 0,$ así que hay una segunda raíz $x_0$ entre $2$ y $4.$

Para demostrar que no hay otras soluciones, divide la ecuación entre $2^x$ y considera $h(x)=\frac{\ln x}{2^x}$ para $x\gt1.$ Su derivada tiene el signo de $\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x),$ una expresión estrictamente decreciente. Por tanto, $h$ primero crece y luego decrece, de modo que una recta horizontal corta su gráfica a lo sumo dos veces. Las dos raíces ya halladas son todas las soluciones. Como $2\lt x_0\lt4,$ se tiene $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Taking $\log_2,$ the equation becomes $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Substituting $x=\sqrt2$ gives $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ which holds, so $x=\sqrt2$ is a solution.

Let $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Then $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ and $f(4)\gt 0,$ so there is a second root $x_0$ between $2$ and $4.$

To prove there are no others, divide the equation by $2^x$ and consider $h(x)=\frac{\ln x}{2^x}$ for $x\gt1.$ Its derivative has the sign of $\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x),$ a strictly decreasing expression. Thus $h$ increases once and then decreases, so a horizontal line meets its graph at most twice. The two roots already found are all the solutions. Since $2\lt x_0\lt4,$ we have $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años